Conţinut

• Pași
• Sfat

Dacă sunteți matematician sau programator grafic, va trebui probabil să găsiți unghiul dintre doi vectori dați. În acest articol, wikiHow vă arată cum să faceți exact acest lucru.

Pași

Partea 1 din 2: Găsiți unghiul dintre doi vectori

1. 

   Definirea vectorului. Notați toate informațiile despre cei doi vectori pe care îi aveți. Să presupunem că aveți doar parametrii specificați ai coordonatelor lor dimensionale (numiți și componente). Dacă știți deja lungimea (magnitudinea) unui vector, puteți săriți câțiva pași de mai jos.
   • Exemplu: Vector bidimensional = (2,2) și vector bidimensional = (0,3). Ele pot fi, de asemenea, scrise ca = 2eu + 2j și = 0eu + 3j = 3j.
   • Deși vectorii bidimensionali sunt utilizați în exemplul din acest articol, instrucțiunile următoare se pot aplica vectorilor cu orice număr de dimensiuni.

2. 

   
   
   Notați formula cosinusului. Pentru a găsi unghiul θ dintre doi vectori, începem cu formula pentru găsirea cosinusului pentru acel unghi. Puteți afla mai jos despre această formulă sau pur și simplu să o scrieți astfel:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| înseamnă „lungimea vectorului”.
   • • este produsul scalar al celor doi vectori - acest lucru va fi explicat mai jos.

3. 

   
   
   Calculați lungimea fiecărui vector. Imaginați-vă că un triunghi dreptunghiular este format din componentele x, y ale vectorului și vectorul în sine. Vectorul formează ipotenuza triunghiului, așa că pentru a găsi lungimea acestuia folosim teorema lui Pitagora. De fapt, această formulă poate fi ușor extinsă la un vector cu orice număr de dimensiuni.
   • || u || = u₁ + u₂. Dacă un vector are mai mult de două elemente, trebuie doar să continuați să adăugați + u₃ + u₄ +...
   • Prin urmare, pentru un vector bidimensional, || u || = √ (u₁ + u₂).
   • În acest exemplu, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Calculați produsul scalar a doi vectori. Poate că ați învățat metoda multiplicării vectorilor, cunoscută și sub numele de scalar acest. Pentru a calcula produsul scalar în raport cu compoziția lor, înmulțiți ingredientele în fiecare direcție împreună, apoi adăugați întregul rezultat.
   • Pentru programul grafic, vă rugăm să consultați Sfaturi înainte de a citi mai departe.
   • In matematică • = u₁v₁ + u₂v₂, unde, u = (u₁, u₂). Dacă vectorul are mai mult de două elemente, pur și simplu adăugați + u₃v₃ + u₄v₄...
   • În acest exemplu, • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Acesta este produsul scalar al vectorului și al vectorului.

5. 

   Puneți rezultatele în formulă. Amintiți-vă că cosθ = (•) / (|||| || ||). Acum știm atât produsul scalar, cât și lungimea fiecărui vector. Introduceți-le în formula pentru a calcula cosinusul unghiului.
   • În exemplul nostru, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Găsiți unghiul pe baza cosinusului său. Puteți utiliza funcția arccos sau cos într-un calculator pentru a găsi θ dintr-o valoare cos cunoscută. Cu unele rezultate, puteți găsi unghiul pe baza cercului unitar.
   • În exemplu, cosθ = √2 / 2. Introduceți „arccos (√2 ​​/ 2)” în calculatorul dvs. pentru a găsi unghiul. Sau, puteți găsi unghiul θ pe cercul unității, la poziția cosθ = √2 / 2. Este adevărat pentru θ = /₄ sau 45º.
   • Combinând totul, formula finală este: unghiul θ = arccosine ((•) / (|||| || ||))
   publicitate

Partea 2 din 2: Determinarea formulei unghiului

1. 

   Înțelegeți scopul formulei. Această formulă nu a fost derivată din regulile existente. În schimb, este format ca definiție a produsului scalar și unghiul dintre cei doi vectori. Chiar și așa, nu a fost o decizie arbitrară. Revenind la geometria de bază, putem înțelege de ce această formulă oferă definiții intuitive și utile.
   • Exemplele de mai jos folosesc vectori bidimensionali deoarece sunt mai ușor de înțeles și mai simpli. Vectorii tridimensionali sau mai mulți au proprietăți definite de formule generale aproape similare.

2. 

   Examinați teorema lui Cosinus. Se consideră un triunghi obișnuit cu unghiul θ între laturile a și b, latura opusă c. Teorema cosinusului afirmă că c = a + b -2abcos(θ). Acest rezultat este extras destul de simplu din geometria de bază.

3. 

   Conectați doi vectori, formând un triunghi. Desenați o pereche de vectori bidimensionali pe hârtie, vectori și vectori, cu θ unghiul dintre ei. Desenați un al treilea vector între acești doi pentru a crea un triunghi. Cu alte cuvinte, desenați un vector astfel încât + =. Vector = -.

4. 

   Scrieți teorema cosinusului pentru acest triunghi. Înlocuiți lungimea laturii „triunghiului nostru vectorial” în teorema cosinusului:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||cos(θ)

5. 

   Rescrieți cu produs scalar. Amintiți-vă, un produs scalar este imaginea unui vector pe celălalt. Produsul scalar al unui vector cu el însuși nu necesită proiecție, deoarece aici, nu există nicio diferență de direcție. Asta înseamnă • = || a ||. Folosind aceasta, rescriem ecuația:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)

6. 

   A rescris cu succes aceeași formulă. Extindeți partea stângă a formulei, apoi simplificați pentru a obține formula utilizată pentru a găsi unghiuri.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • • = || a || || b ||cos(θ)
   publicitate

Sfat

• Pentru a schimba valorile și a rezolva problema rapid, utilizați această formulă pentru orice pereche de vectori bidimensionali: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Dacă lucrați cu software de grafică pe computer, este posibil să nu aveți grijă decât de dimensiunea vectorilor fără a vă face griji cu privire la lungimea lor. Urmați pașii următori pentru a scurta o ecuație și a accelera programul:
  • Normalizați fiecare vector astfel încât să fie egal cu 1. Pentru a face acest lucru, împărțiți fiecare dintre componentele vectorului la lungimea sa.
  • Obțineți produsul normalizat al scalarului în locul vectorului original.
  • Deoarece lungimea este 1, putem exclude elementele de lungime din ecuație. În cele din urmă, ecuația unghiului obținut este arccos (•).
• Pe baza formulei cosinusului, putem determina rapid dacă unghiul este acut sau obtuz. Începeți cu cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Laturile stânga și dreapta ale ecuației trebuie să aibă același semn (pozitiv sau negativ).
  • Deoarece lungimea este întotdeauna pozitivă, cosθ trebuie să aibă același semn ca produsul scalar.
  • Prin urmare, dacă produsul este pozitiv, cosθ este, de asemenea, pozitiv. Suntem în primul cadran al cercului unitar, cu θ <π / 2 sau 90º. Unghiul de găsit este unghiul ascuțit.
  • Dacă produsul scalar este negativ, cosθ este negativ. Ne aflăm în al doilea cadran al cercului unitar, cu π / 2 <θ ≤ π sau 90º <θ ≤ 180º. Acesta este colțul închisorii.