Conţinut

• Informații preliminare
• Pași
• Partea 1 din 3: Noțiunile de bază
• Partea 2 din 3: Proprietățile transformatei Laplace
• Partea 3 din 3: Găsirea transformatei Laplace după expansiunea seriei

Transformata Laplace este o transformare integrală care este utilizată pentru a rezolva ecuații diferențiale cu coeficienți constanți. Această transformare este utilizată pe scară largă în fizică și inginerie.

Deși puteți utiliza tabelele corespunzătoare, este util să înțelegeți transformarea Laplace, astfel încât să o puteți face singură, dacă este necesar.

Informații preliminare

• Având o funcție ${ displaystyle f (t)}$definit pentru ${ displaystyle t geq 0.}$ Apoi Transformarea Laplace funcţie ${ displaystyle f (t)}$ este următoarea funcție a fiecărei valori ${ displaystyle s}$, la care converge integral:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Transformata Laplace ia o funcție de la regiunea t (scara de timp) la regiunea s (regiunea de transformare), unde ${ displaystyle F (s)}$ este o funcție complexă a unei variabile complexe. Vă permite să mutați funcția într-o zonă în care o soluție poate fi găsită mai ușor.
• Evident, transformata Laplace este un operator liniar, deci dacă avem de-a face cu o sumă de termeni, fiecare integrală poate fi calculată separat.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Amintiți-vă că transformarea Laplace funcționează numai dacă integrala converge. Dacă funcția ${ displaystyle f (t)}$ are discontinuități, este necesar să fim atenți și să stabilim corect limitele integrării pentru a evita incertitudinea.

Pași

Partea 1 din 3: Noțiunile de bază

1. 1 Înlocuiți funcția în formula transformării Laplace. Teoretic, transformata Laplace a unei funcții este foarte ușor de calculat. De exemplu, luați în considerare funcția ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, Unde ${ displaystyle a}$ este o constantă complexă cu ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Estimează integralul folosind metodele disponibile. În exemplul nostru, estimarea este foarte simplă și vă puteți descurca cu calcule simple. În cazuri mai complexe, pot fi necesare metode mai complexe, de exemplu, integrarea prin părți sau diferențierea sub semnul integral. Condiție de constrângere ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ înseamnă că integrala converge, adică valoarea ei tinde la 0 ca ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(ca) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {aliniat}}}$
   • Rețineți că acest lucru ne oferă două tipuri de transformate Laplace, cu sinus și cosinus, deoarece conform formulei lui Euler ${ displaystyle e ^ {iat}}$... În acest caz, în numitorul pe care îl obținem ${ displaystyle s-ia,}$ și rămâne doar să se determine părțile reale și imaginare. De asemenea, puteți evalua rezultatul direct, dar acest lucru ar dura puțin mai mult.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Luați în considerare transformata Laplace a unei funcții de putere. În primul rând, trebuie să definiți transformarea funcției de putere, deoarece proprietatea liniarității vă permite să găsiți transformarea pentru dintre toate polinomiale. O funcție a formei ${ displaystyle t ^ {n},}$ Unde ${ displaystyle n}$ - orice număr întreg pozitiv. Poate fi integrat bucată cu bucată pentru a defini o regulă recursivă.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Acest rezultat este exprimat implicit, dar dacă înlocuiți mai multe valori ${ displaystyle n,}$ puteți stabili un anumit model (încercați să o faceți singur), care vă permite să obțineți următorul rezultat:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • De asemenea, puteți defini transformata Laplace a puterilor fracționare utilizând funcția gamma. De exemplu, în acest fel puteți găsi transformarea unei funcții precum ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Deși funcțiile cu puteri fracționate trebuie să aibă tăieturi (amintiți-vă, orice numere complexe ${ displaystyle z}$ și ${ displaystyle alpha}$ poate fi scris ca ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, pentru că ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), ele pot fi întotdeauna definite în așa fel încât tăieturile să se afle în jumătatea planului stâng și să evite astfel problemele de analiticitate.

Partea 2 din 3: Proprietățile transformatei Laplace

1. 1 Să găsim transformata Laplace a funcției înmulțită cu eAt{ displaystyle e ^ {at}}. Rezultatele obținute în secțiunea anterioară ne-au permis să aflăm câteva proprietăți interesante ale transformatei Laplace. Transformarea Laplace a funcțiilor precum cosinusul, sinusul și funcția exponențială pare a fi mai simplă decât transformarea funcției de putere. Înmulțirea cu ${ displaystyle e ^ {at}}$ în regiunea t corespunde schimb în regiunea s:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Această proprietate vă permite imediat să găsiți transformarea funcțiilor precum ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, fără a fi nevoie să calculați integralul:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Să găsim transformata Laplace a funcției înmulțită cu tn{ displaystyle t ^ {n}}. În primul rând, luați în considerare multiplicarea cu ${ displaystyle t}$... Prin definiție, se poate diferenția o funcție sub o integrală și se poate obține un rezultat surprinzător de simplu:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {align}}}$
   • Repetând această operație, obținem rezultatul final:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Deși rearanjarea operatorilor de integrare și diferențiere necesită o justificare suplimentară, nu o vom prezenta aici, ci rețineți doar că această operațiune este corectă dacă rezultatul final are sens. De asemenea, puteți lua în considerare faptul că variabilele ${ displaystyle s}$ și ${ displaystyle t}$ nu depinde unul de celălalt.
   • Folosind această regulă, este ușor să găsiți transformarea funcțiilor precum ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, fără reintegrare pe părți:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Găsiți transformata Laplace a funcției f(At){ displaystyle f (at)}. Acest lucru se poate face cu ușurință prin înlocuirea variabilei cu u folosind definiția unei transformări:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F left ({ frac {s} {a}} right) end {align}}}$
   • Mai sus, am găsit transformata Laplace a funcțiilor ${ displaystyle sin at}$ și ${ displaystyle cos at}$ direct din funcția exponențială. Folosind această proprietate, puteți obține același rezultat dacă găsiți părțile reale și imaginare ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Găsiți transformata Laplace a derivatei f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Spre deosebire de exemplele anterioare, în acest caz Trebuie să integrează bucată cu bucată:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {align}}}$
   • Deoarece a doua derivată apare în multe probleme fizice, găsim și transformarea Laplace:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • În cazul general, transformata Laplace a derivatei de ordinul n este definită după cum urmează (aceasta permite rezolvarea ecuațiilor diferențiale utilizând transformata Laplace):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Partea 3 din 3: Găsirea transformatei Laplace după expansiunea seriei

1. 1 Să găsim transformata Laplace pentru o funcție periodică. Funcția periodică satisface condiția ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ Unde ${ displaystyle T}$ este perioada funcției și ${ displaystyle n}$ este un număr întreg pozitiv. Funcțiile periodice sunt utilizate pe scară largă în multe aplicații, inclusiv procesarea semnalului și ingineria electrică. Folosind transformări simple, obținem următorul rezultat:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { aliniat}}}$
   • După cum puteți vedea, în cazul unei funcții periodice, este suficient să efectuați transformarea Laplace pentru o perioadă.
2. 2 Efectuați transformarea Laplace pentru logaritmul natural. În acest caz, integralul nu poate fi exprimat sub formă de funcții elementare. Utilizarea funcției gamma și a expansiunii sale în serie vă permite să estimați logaritmul natural și gradele sale. Prezența constantei Euler-Mascheroni ${ displaystyle gamma}$ arată că pentru a estima această integrală, este necesar să se utilizeze o expansiune în serie.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Luați în considerare transformata Laplace a funcției sincere normalizate. Funcţie ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ utilizat pe scară largă pentru procesarea semnalului, în ecuațiile diferențiale este echivalent cu funcția sferică Bessel de primul fel și ordinul zero ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ De asemenea, transformata Laplace a acestei funcții nu poate fi calculată prin metode standard. În acest caz, se efectuează transformarea membrilor individuali ai seriei, care sunt funcții de putere, astfel încât transformările lor converg în mod necesar pe un interval dat.
   • În primul rând, scriem extinderea funcției într-o serie Taylor:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Acum folosim transformata Laplace deja cunoscută a unei funcții de putere. Factorialele sunt anulate și, ca rezultat, obținem expansiunea Taylor pentru arctangent, adică o serie alternativă care seamănă cu seria Taylor pentru sinus, dar fără factoriale:
     • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {align}}}$