Conţinut

• A calca
• Metoda 1 din 3: O primă sarcină simplă
• Metoda 2 din 3: Calcularea valorii așteptate pentru un rezultat specific
• Metoda 3 din 3: Înțelegeți conceptul
• sfaturi
• Necesități

Valoarea așteptărilor este un termen statistic și un concept folosit pentru a decide cât de utilă sau dăunătoare va fi o acțiune. Pentru a calcula valoarea așteptată, este necesar să se obțină o bună înțelegere a fiecărui rezultat într-o anumită situație și a probabilității asociate sau a probabilității ca un anumit rezultat să apară. Pașii de mai jos oferă câteva exemple de exerciții pentru a vă ajuta să înțelegeți conceptul valorii așteptărilor.

A calca

Metoda 1 din 3: O primă sarcină simplă

1. Citiți declarația. Înainte de a începe să vă gândiți la toate rezultatele și probabilitățile posibile, este important să înțelegeți problema. De exemplu, un joc de zaruri care costă 10 EUR pe joc. O matură hexagonală este aruncată o singură dată, iar câștigurile dvs. depind de numărul pe care îl aruncați. Dacă se rulează un 6, câștigi 30 EUR; un 5 câștigă 20 EUR; orice alt număr nu dă nimic.
2. Enumerați toate rezultatele posibile. Ajută la enumerarea tuturor rezultatelor posibile într-o situație dată. În exemplul de mai sus, există 6 rezultate posibile. Acestea sunt: ​​(1) aruncați 1 și pierdeți 10 USD, (2) aruncați 2 și pierdeți 10 USD, (3) aruncați 3 și pierdeți 10 USD, (4) aruncați 4 și pierdeți 10 USD , (5) dă un 5 și câștigă 10 $, (6) dă un 6 și câștigă 20 $.
   • Rețineți că fiecare rezultat este cu 10 EUR mai puțin decât cel descris mai sus, deoarece va trebui să plătiți mai întâi 10 EUR pe joc, indiferent de rezultat.
3. Determinați probabilitatea fiecărui rezultat. În acest caz, probabilitatea oricăror 6 rezultate este aceeași. Probabilitatea ca un număr aleatoriu să fie rulat este 1 din 6. Pentru a face acest lucru mai ușor de notat, vom scrie fracția (1/6) ca zecimal folosind un calculator: 0,167. Scrieți această probabilitate lângă fiecare rezultat, mai ales dacă doriți să rezolvați o problemă cu probabilități diferite pentru fiecare rezultat.
   • Calculatorul dvs. 1/6 ar putea face ceva de genul 0.166667. Rotunjim acest lucru la 0,167 pentru a face mai ușor calculul fără a sacrifica precizia.
   • Dacă doriți un rezultat foarte precis, nu îl faceți zecimal, introduceți 1/6 în formulă și calculați-l pe calculatorul dvs.
4. Înregistrați valoarea fiecărui rezultat. Înmulțiți $ dintr-un rezultat cu probabilitatea ca rezultatul să apară pentru a calcula câți bani va contribui la valoarea așteptată. De exemplu, rezultatul aruncării unui 1 este - 10 dolari, iar probabilitatea de a arunca un 1 este 0,167. Valoarea aruncării unui 1 este deci (-10) * (0,167).
   • Nu este necesar să calculați aceste rezultate acum dacă aveți un calculator care poate efectua mai multe operații în același timp. Veți obține un rezultat mai precis dacă introduceți întreaga ecuație.
5. Adăugați valoarea fiecărui rezultat pentru a obține valoarea așteptată a unui eveniment. Pentru a continua cu exemplul de mai sus, valoarea de așteptare a jocului de zaruri este: (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (10 * 0,167) + (20 * 0,167) sau - 1,67 €. Așadar, vă puteți aștepta să pierdeți 1,67 USD de fiecare dată în acest joc (pe joc).
6. Care sunt implicațiile calculării valorii așteptate. În exemplul de mai sus, am stabilit că profitul (pierderea) așteptat ar fi - 1,67 € pe aruncare. Acesta este un rezultat imposibil pentru 1 joc; poți pierde 10 EUR, câștiga 10 EUR sau 20 EUR. Dar, pe termen lung, valoarea așteptată este o probabilitate medie utilă. Dacă continuați să jucați acest joc, veți pierde în medie aproximativ 1,67 USD pe joc. Un alt mod de a te gândi la valoarea așteptată este prin atribuirea anumitor costuri (sau beneficii) jocului; ar trebui să joci acest joc numai dacă consideri că merită, bucură-te de el suficient pentru a cheltui 1,67 USD pe el de fiecare dată.
   • Cu cât o situație se repetă mai des, cu atât valoarea preconizată este mai precisă o reprezentare a rezultatului mediu real. De exemplu, poate joci jocul de 5 ori la rând și pierzi de fiecare dată, rezultând o pierdere medie de 10 USD. Cu toate acestea, dacă joci jocul de încă 1000 de ori, rezultatul mediu se va apropia din ce în ce mai mult de valoarea așteptată de - 1,67 € per joc. Acest principiu este numit „legea numărului mare”.

Metoda 2 din 3: Calcularea valorii așteptate pentru un rezultat specific

1. Folosiți această metodă pentru a calcula numărul mediu de monede pe care trebuie să le întoarceți înainte să apară un anumit tipar. De exemplu, puteți utiliza metoda pentru a afla numărul așteptat de monede de răsucit până când aveți capete de două ori la rând. Această problemă este puțin mai complicată decât o problemă standard despre valorile așteptărilor, așa că citiți mai întâi partea de mai sus a acestui articol dacă nu sunteți familiarizați cu conceptul de valoare așteptării.
2. Să presupunem că căutăm o valoare x. Încercați să determinați câte monede trebuie să răsturnați în medie pentru a obține două capete la rând. Acum facem o comparație pentru a găsi răspunsul. Răspunsul pe care îl căutăm îl numim x. Facem comparația necesară pas cu pas. În prezent, avem următoarele:
   • x = ___
3. Gândiți-vă la ce se întâmplă dacă primul flip produce o monedă. Acesta va fi cazul în jumătate din cazuri. Dacă acesta este cazul, ați „irosit” o rulare, în timp ce șansa de a roti un cap de două ori la rând nu s-a schimbat. Ca și în cazul aruncării cu monede, este de așteptat să aruncați un număr mediu de ori înainte de a obține un cap de două ori la rând. Cu alte cuvinte, te-ai aștepta să rulezi de câte ori, plus cele pe care le-ai jucat deja. Sub forma unei ecuații:
   • x = (0,5) (x + 1) + ___
   • Vom umple spațiul gol în timp ce continuăm să ne gândim la alte situații.
   • Puteți utiliza fracții în loc de zecimale dacă este mai ușor sau necesar.
4. Gândește-te la ce se întâmplă când îți arunci capul. Există șanse de 0,5 (sau 1/2) să arunci o ceașcă prima dată. Acest lucru pare să se apropie de obiectivul de a arunca un cap de două ori la rând, dar cât? Cel mai simplu mod de a afla este să vă gândiți la opțiunile din cea de-a doua listă:
   • Dacă a doua aruncare este o monedă, ne întoarcem la început.
   • Dacă a doua oară este și o ceașcă, atunci am terminat!
5. Aflați cum să calculați probabilitatea ca ambele evenimente să apară. Știm acum că aveți o șansă de 50% să aruncați o ceașcă, dar care este șansa să aruncați o ceașcă de două ori la rând? Pentru a calcula această probabilitate, înmulțiți probabilitatea ambelor. În acest caz este de 0,5 x 0,5 = 0,25. Desigur, aceasta este, de asemenea, șansa că veți roti capetele și apoi cozile, deoarece ambele au șansa de a apărea 0,5: 0,5 x 0,5 = 0,25.
6. Adăugați rezultatul pentru „capete, apoi cozi” la ecuație. Acum că am calculat probabilitatea ca acest eveniment să aibă loc, putem trece la extinderea ecuației. Există o șansă de 0,25 (sau 1/4) ca să pierdem aruncarea de două ori fără a avansa. Dar acum avem încă nevoie de un număr de mai multe aruncări în medie pentru a obține rezultatul pe care dorim să-l obținem, plus cele 2 pe care le-am aruncat deja. În formă de ecuație, acesta devine (0,25) (x + 2), pe care îl putem adăuga acum la ecuație:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + ___
7. Adăugați rezultatul pentru „antet, antet” la ecuație. Dacă rotiți capul, capul cu primele două aruncări ale monedelor, ați terminat. Ai obținut rezultatul în exact 2 aruncări. După cum am menționat mai devreme, există o șansă de 0,25 ca acest lucru să se întâmple, deci ecuația pentru aceasta este (0,25) (2). Comparația noastră este acum completă:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + (0,25) (2)
   • Dacă nu sunteți sigur că v-ați gândit la toate situațiile posibile, există o modalitate ușoară de a verifica dacă ecuația este completă. Primul număr din fiecare parte a ecuației reprezintă probabilitatea ca un eveniment să aibă loc. Aceasta va adăuga întotdeauna până la 1. Aici, 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, deci știm că am inclus fiecare situație.
8. Simplificați ecuația. Să facem ecuația puțin mai ușoară prin multiplicare. Amintiți-vă, dacă vedeți ceva între paranteze ca acesta: (0,5) (x + 1), atunci înmulțiți 0,5 cu fiecare termen care se află în al doilea set de paranteze. Acest lucru vă oferă următoarele: 0,5x + (0,5) (1) sau 0,5x + 0,5. Să facem acest lucru pentru fiecare termen din ecuație, apoi combinăm acești termeni astfel încât totul să arate puțin mai simplu:
   • x = 0,5x + (0,5) (1) + 0,25x + (0,25) (2) + (0,25) (2)
   • x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5
   • x = 0,75x + 1,5
9. Rezolvați pentru x. Ca în orice ecuație, va trebui să izolați x pe o parte a ecuației pentru a o calcula. Amintiți-vă, x înseamnă „numărul mediu de monede pe care trebuie să le aruncați pentru a obține capete de două ori la rând”. Când am calculat x, am găsit și răspunsul nostru.
   • x = 0,75x + 1,5
   • x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x
   • 0,25x = 1,5
   • (0,25x) / (0,25) = (1,5) / (0,25)
   • x = 6
   • În medie, va trebui să arunci o monedă de 6 ori înainte de a arunca capetele de două ori.

Metoda 3 din 3: Înțelegeți conceptul

1. Ce este de fapt o valoare așteptată. Valoarea așteptării nu este neapărat rezultatul cel mai evident sau logic. Uneori, o valoare așteptată poate fi chiar o valoare imposibilă într-o situație dată. De exemplu, valoarea așteptată poate fi de + 5 EUR pentru un joc cu un premiu de maximum 10 EUR. Ceea ce indică valoarea așteptării este cât de multă valoare are un anumit eveniment. Dacă un joc are o valoare așteptată de + 5 €, atunci îl puteți juca dacă credeți că merită timpul și banii pe care îi puteți obține pe joc. Dacă un alt joc are o valoare așteptată de - 20 USD, atunci îl jucați numai dacă credeți că fiecare joc valorează 20 USD.
2. Înțelegeți conceptul de evenimente independente. În viața de zi cu zi, mulți dintre noi cred că avem o zi norocoasă când se întâmplă unele lucruri bune și ne așteptăm ca restul zilei să meargă așa.În același mod, putem crede că ne-am saturat de un accident și că trebuie să facem ceva distractiv acum. Matematic, lucrurile nu merg așa. Dacă arunci o monedă obișnuită, există exact aceeași șansă ca să arunci un cap sau o monedă. Nu contează de câte ori ai aruncat deja; data viitoare când o arunci funcționează în același mod. Aruncarea monedei este „independentă” de celelalte aruncări, nu este afectată de aceasta.
   • Credința că poți avea noroc sau ghinion atunci când arunci monede (sau orice alt joc de noroc), sau Faptul că tot ghinionul tău s-a încheiat și norocul este de partea ta se numește și înșelătorie pentru jucători (sau eroarea jucătorului). Acest lucru are legătură cu tendința oamenilor de a lua decizii riscante sau stupide atunci când simt că norocul este de partea lor, sau dacă simt „o serie de norocoși” sau dacă simt că „norocul este pe cale să se întoarcă”.
3. Înțelegeți legea numărului mare. S-ar putea să credeți că valoarea așteptărilor nu este cu adevărat utilă, deoarece vă spune foarte rar care este rezultatul real al unei situații. Dacă ați calculat că valoarea așteptată a unui joc de ruletă este - 1 € și jucați jocul de 3 ori, de obicei veți ajunge cu - 10 € sau + 60 € sau un alt rezultat. „Legea numerelor mari” vă explică de ce valoarea așteptărilor este mai utilă decât ați putea crede: cu cât jucați mai mult, cu atât va fi mai aproape de valoarea așteptării rezultatul mediu. Când vă uitați la numărul mare de evenimente, există șanse mari ca rezultatul final să fie aproape de valoarea așteptată.

sfaturi

• Pentru acele situații în care sunt posibile rezultate multiple, puteți crea o foaie de calcul în computer pentru a calcula valoarea așteptată folosind rezultatele și probabilitățile acestora.
• Calculele în EUR de mai sus funcționează și în alte valute.

Necesități

• Creion
• Hârtie
• Calculator