Conţinut

• A calca
• Metoda 1 din 2: Tragerea rădăcinii cu factori primi
• Metoda 2 din 2: Găsirea rădăcinilor pătrate fără un calculator
• Cu diviziune lungă
• Înțelegeți procedura
• sfaturi
• Avertizări

Înainte de apariția calculatoarelor, atât studenții, cât și profesorii au trebuit să calculeze rădăcinile pătrate cu stilou și hârtie. Diverse tehnici au fost dezvoltate la momentul respectiv pentru a aborda această muncă uneori dificilă, dintre care unele oferă o estimare aproximativă, iar altele calculează valoarea exactă. Citiți mai departe pentru a afla cum să găsiți rădăcina pătrată a unui număr în câțiva pași simpli.

A calca

Metoda 1 din 2: Tragerea rădăcinii cu factori primi

1. Împărțiți-vă numărul în factori de putere. Această metodă folosește factorii unui număr pentru a găsi rădăcina pătrată a unui număr (în funcție de număr, poate fi un răspuns exact sau o estimare). factori dintr-un număr dat sunt orice succesiune de numere care sunt înmulțite împreună pentru a forma acel număr particular. De exemplu, puteți spune că factorii 8 sunt egali cu 2 și 4 deoarece 2 × 4 = 8. Pătratele perfecte, pe de altă parte, sunt numere întregi care sunt produsul altor numere întregi. De exemplu, 25, 36 și 49 sunt pătrate perfecte, deoarece sunt egale cu 5, 6 și respectiv 7. Al doilea factor de putere, așa cum ați înțeles, sunt factori care sunt, de asemenea, pătrate perfecte. Pentru a găsi o rădăcină pătrată folosind factori primi, încercați mai întâi să împărțiți numărul în al doilea factor de putere.
   • Luați exemplul următor. Vom găsi rădăcina pătrată de 400. Pentru început, împărțim numărul în factori de putere. Deoarece 400 este multiplu de 100, știm că este divizibil în mod egal cu 25 - un pătrat perfect. Raportul rapid ne spune că 400/25 = 16,16 se întâmplă, de asemenea, să fie un pătrat perfect. Deci factorii cubici de 400 sunt 25 și 16 deoarece 25 × 16 = 400.
   • Scriem acest lucru astfel: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Luați rădăcinile pătrate ale celui de-al doilea factor de putere. Regula de produs a rădăcinilor pătrate afirmă că pentru orice număr dat A și b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Datorită acestei proprietăți, putem lua acum rădăcinile pătrate ale factorilor pătrate și le putem înmulți împreună pentru a obține răspunsul.
   • În exemplul nostru, luăm rădăcinile pătrate de 25 și 16. Vezi mai jos:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Dacă numărul dvs. nu poate fi luat în considerare perfect, simplificați-l. În realitate, numerele pe care doriți să le determinați rădăcinile pătrate nu vor fi numere rotunjite frumoase cu pătrate frumoase precum 400. În aceste cazuri, este posibil să nu fie posibil să obțineți un număr întreg ca răspuns. În schimb, folosind toți factorii de putere pe care îi puteți găsi, puteți determina răspunsul ca o rădăcină pătrată mai mică, mai ușor de utilizat. Faceți acest lucru reducând numărul la o combinație de factori de putere și alți factori, apoi simplificându-l.
   • Luăm ca exemplu rădăcina pătrată a lui 147. 147 nu este produsul a două pătrate perfecte, deci nu putem obține o valoare întreagă frumoasă. Dar este produsul unui pătrat perfect și al unui alt număr - 49 și 3. Putem folosi aceste informații pentru a scrie răspunsul nostru în cei mai simpli termeni:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. Simplificați, dacă este necesar. Folosind rădăcina pătrată în cei mai simpli termeni, este de obicei destul de ușor să obțineți o estimare aproximativă a răspunsului prin estimarea rădăcinilor pătrate rămase și înmulțirea acestora. O modalitate de a vă îmbunătăți presupunerile este de a găsi pătratele perfecte de ambele părți ale numărului din rădăcina pătrată. Știți că valoarea zecimală a numărului din rădăcina pătrată este undeva între aceste două numere, deci presupunerea dvs. va trebui să fie și între aceste numere.
   • Să ne întoarcem la exemplul nostru. Deoarece 2 = 4 și 1 = 1, știm că Sqrt (3) este între 1 și 2 - probabil mai aproape de 2 decât 1. Estimăm că 1.7. 7 × 1,7 = 11,9. Dacă verificăm acest lucru cu ajutorul calculatorului, vedem că suntem destul de aproape de răspuns: 12,13.
     • Acest lucru funcționează și pentru numerele mai mari. De exemplu, sqrt (35) este aproximativ între 5 și 6 (probabil mai aproape de 6). 5 = 25 și 6 = 36,35 este între 25 și 36, deci rădăcina pătrată va fi între 5 și 6. Deoarece 35 este chiar sub 36, putem spune cu oarecare încredere că rădăcina pătrată a acestuia doar este mai mic de 6. Verificarea cu un calculator ne oferă un răspuns de aproximativ 5,92 - am avut dreptate.
5. Alternativ, ca prim pas, puteți simplifica numărul la cel mai mic multiplu comun. Căutarea factorilor de putere nu este necesară dacă puteți găsi cu ușurință factori primi ai unui număr (factori care sunt, de asemenea, numere prime în același timp). Scrieți numărul în termeni de multipli mai puțin comuni. Apoi căutați între factorii dvs. perechile potrivite de numere prime. Când găsiți doi factori primi care se potrivesc, eliminați-i din rădăcina pătrată și locul A dintre aceste numere în afara semnului rădăcină pătrată.
   • De exemplu, determinăm rădăcina pătrată a 45 folosind această metodă. Știm că 45 = 9 × 5 și că 9 = 3 × 3. Deci putem scrie rădăcina pătrată astfel: Sqrt (3 × 3 × 5). Pur și simplu ștergeți 3 și plasați un 3 în afara rădăcinii pătrate pentru a obține o rădăcină pătrată simplificată: (3) Sqrt (5). Acum puteți face cu ușurință o estimare.
   • Un ultim exemplu; determinăm rădăcina pătrată a 88:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Avem mai multe 2 în rădăcina noastră pătrată. Deoarece 2 este prim, putem elimina o pereche și plasa un 2 în afara rădăcinii.
     • = Rădăcina noastră pătrată în termeni simpli este (2) Sqrt (2 × 11) sau (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Acum putem aborda Sqrt (2) și Sqrt (11) și să găsim un răspuns aproximativ, dacă dorim.

Metoda 2 din 2: Găsirea rădăcinilor pătrate fără un calculator

Cu diviziune lungă

1. Împărțiți cifrele numărului dvs. în perechi. Această metodă este similară cu divizarea lungă, care vă permite să împărțiți corect rădăcină pătrată a unui număr cifră cu cifră. Deși nu este esențial, împărțirea unui număr în bucăți lucrabile poate facilita rezolvarea, mai ales dacă este lungă. Mai întâi trageți o linie verticală care împarte zona de lucru în 2 zone, apoi o linie mai scurtă în partea de sus a zonei din dreapta, împărțind-o într-o parte superioară mai mică și o parte mai mare mai jos. Apoi împărțiți numărul în perechi de numere, începând de la punctul zecimal. Conform acestei reguli, 79520789182.47897 devine „7 95 20 78 91 82.47 89 70”. Scrieți acest număr în zona din stânga sus.
   • De exemplu, să calculăm rădăcina pătrată a 780,14. Împărțiți spațiul de lucru ca mai sus și scrieți „7 80, 14” în colțul din stânga sus. Este în regulă dacă există un singur număr în partea stângă, în loc de două. Apoi scrieți răspunsul (rădăcina pătrată a 780.14) în partea de sus a zonei din dreapta.
2. Găsiți cel mai mare număr întreg n al cărui pătrat este mai mic sau egal cu cifra sau numărul cel mai din stânga. Găsiți cel mai mare pătrat care este mai mic sau egal cu acest număr și apoi găsiți rădăcina pătrată a acestui pătrat. Acest număr este n. Scrieți asta în zona din dreapta sus și scrieți pătratul lui n în cadranul inferior al acelei zone.
   • În exemplul nostru, cifra din stânga este numărul 7. Deoarece știm că 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, putem spune că n = 2 deoarece acesta este cel mai mare număr întreg al cărui pătrat este mai mic sau egal cu 7. Scrieți 2 în cadranul din dreapta sus. Aceasta este prima cifră a răspunsului. Scrieți 4 (pătratul lui 2) în cadranul din dreapta jos. Acest număr este important pentru următorul pas.
3. Scădeți numărul pe care l-ați calculat din cifra sau numărul din stânga. Ca și în cazul divizării lungi, următorul pas este să scădem pătratul din numărul pe care tocmai l-am folosit pentru calcul. Scrieți acest număr sub numărul din stânga și scădeți-le. Scrie răspunsul mai jos.
   • În exemplul nostru, scriem un 4 sub 7 și îl scădem. Asta da 3 in raspuns.
4. Mutați următorul număr în jos. Plasați acest lucru lângă valoarea pe care ați găsit-o în editarea anterioară. Înmulțiți numărul din dreapta sus cu două și scrieți-l în dreapta jos. Lăsați spațiu lângă numărul pe care tocmai l-ați notat pentru suma pe care o veți face în pasul următor. Scrie aici "_ × _ =" ".
   • În exemplul nostru, următorul număr este „80”. Scrieți „80” lângă 3 în cadranul stâng. Apoi înmulțiți numărul din dreapta sus cu 2. Acest număr este 2, deci 2 × 2 = 4. Notați „„ 4 ”„ în dreapta jos, urmat de _×_=.
5. Introduceți numerele din dreapta. În spațiul gol al sumei (dreapta), introduceți cel mai mare număr întreg care va face ca rezultatul sumei înmulțirii din dreapta să fie mai mic sau egal cu numărul curent din stânga.
   • În exemplul nostru, introducem 8, iar acest lucru dă 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Aceasta este mai mare decât 380. Deci 8 este prea mare, dar 7 probabil nu este. Completați 7 și rezolvați: 4 (7) × 7 = 329. 7 este bun deoarece 329 este mai mic decât 380. Scrieți 7 în dreapta sus. Aceasta este a doua cifră din rădăcina pătrată a 780.14.
6. Scădeți numărul pe care tocmai l-ați calculat din numărul curent din stânga. Deci scazi rezultatul înmulțirii din dreapta din răspunsul curent din stânga. Scrieți răspunsul direct sub acesta.
   • În exemplul nostru, scădem 329 din 380, iar acest lucru dă 51 ca rezultat.
7. Repetați pasul 4. Mutați următoarea pereche de numere în jos de la 780.14. Când ajungeți la o virgulă, scrieți acea virgulă în răspunsul din dreapta. Apoi înmulțiți numărul din dreapta sus cu 2 și scrieți răspunsul lângă („_ × _”) ca mai sus.
   • În răspunsul nostru, scriem acum o virgulă, pentru că întâlnim acest lucru și în 780.14. Mutați următoarea pereche (14) în jos în cadranul stâng. 27 x 2 = 54, deci scriem „54 _ × _ =” în cadranul din dreapta jos.
8. Repetați pașii 5 și 6. Găsiți cel mai mare număr care oferă un răspuns mai mic sau egal cu numărul curent din stânga. Rezolva.
   • În exemplul nostru, 549 × 9 = 4941, care este mai mic sau egal cu numărul din stânga (5114). 549 × 10 = 5490, care este prea mare, deci 9 este răspunsul nostru. Scrie 9 ca următorul număr din dreapta sus și scade rezultatul înmulțirii din numărul din stânga: 5114 -4941 = 173.
9. Pentru a face rezultatul corect, repetați procedura anterioară până găsiți răspunsul cu numărul de zecimale (sutimi, miimi) de care aveți nevoie.

Înțelegeți procedura

1. Luați în considerare numărul a cărui rădăcină pătrată pe care doriți să o calculați ca aria S a unui pătrat. Deoarece aria unui pătrat este L, unde L este lungimea uneia dintre laturile sale, deci, găsind rădăcina pătrată a numărului dvs., încercați să calculați lungimea L a laturii acelui pătrat.
2. Dați fiecărei cifre din răspunsul dvs. o scrisoare. Introduceți variabila A ca prima cifră a lui L (rădăcina pătrată pe care încercăm să o calculăm). B este a doua cifră, C a treia și așa mai departe.
3. Dați o literă fiecărei „perechi de numere” din numărul cu care începeți. Dați variabila S_A la prima pereche de cifre din S (valoarea inițială), S._b la a doua pereche de cifre etc.
4. Înțelegeți relația dintre această metodă și divizarea lungă. Această metodă de a găsi o rădăcină pătrată este în esență o diviziune lungă, în care împărțiți valoarea inițială la rădăcina ei pătrată și „dați” rădăcina pătrată ca răspuns. Ca și în cazul divizării lungi, unde sunteți interesat doar de următoarea cifră la un moment dat, sunteți interesat doar de următoarele două cifre la un moment dat (care corespund următoarei cifre a rădăcinii pătrate).
5. Găsiți cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu S._A este. Prima cifră A din răspunsul nostru este atunci cel mai mare întreg al cărui pătrat nu este mai mare decât S._A (A astfel încât A² ≤ Sa (A + 1) ²). În exemplul nostru, S_A = 7 și 2² ≤ 7 3², deci A = 2.
   • Rețineți că, dacă împărțiți 88962 la 7 folosind împărțirea lungă, primul pas este egal: vă ocupați mai întâi de prima cifră de 88962 (8) și doriți cea mai mare cifră înmulțită cu 7 care este mai mică sau egală cu 8. În esență, dvs. a determina d astfel încât 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). În acest caz, d este egal cu 1.
6. Vizualizați pătratul în care doriți să găsiți zona. Răspunsul dvs., rădăcina pătrată a valorii inițiale, este L, care descrie lungimea unui pătrat cu aria S (valoarea inițială). Valorile pentru A, B și C reprezintă cifrele din valoarea L. Un alt mod de a spune acest lucru este că pentru un răspuns din 2 cifre, 10A + B = L și pentru un răspuns din 3 cifre, 100A + 10B + C = L și așa mai departe.
   • În exemplul nostru (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Amintiți-vă că 10A + B reprezintă răspunsul nostru L împreună cu B în poziția unităților și A în poziția zecilor. De exemplu, dacă A = 1 și B = 2, atunci 10A + B este numărul 12. (10A + B) ² este aria întregului pătrat, în timp ce 100A² este zona celui mai mare pătrat interior, B² este aria celui mai mic pătrat și 10A × B este aria fiecărui dreptunghi rămas. Prin această procedură lungă și complicată, putem găsi aria întregului pătrat adăugând suprafețele pătratelor și dreptunghiurilor care fac parte din acesta.
7. Scădeți A² din S._A. Aduceți o pereche de numere (S._b) în jos de la numărul S. S._A S._b este aproape suprafața totală a pătratului, din care tocmai ați scăzut aria celui mai mare pătrat interior. Restul este, să zicem, numărul N1, pe care l-am obținut la pasul 4 (N1 = 380 în exemplul nostru). N1 este egal cu 2 × 10A × B + B² (aria celor 2 dreptunghiuri plus aria pătratului mic).
8. Uită-te la N1 = 2 × 10A × B + B², scris și ca N1 = (2 × 10A + B) × B. În exemplul nostru, știți deja N1 (380) și A (2), așa că acum trebuie să găsiți B. Probabil că B nu este un număr întreg, așa că trebuie de fapt găsiți cel mai mare număr întreg B, astfel încât (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Deci acum aveți: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Rezolvați ecuația. Pentru a rezolva această ecuație, înmulțiți A cu 2, deplasați-o la zece (înmulțiți cu 10), puneți B în unități și înmulțiți rezultatul cu B. Cu alte cuvinte, (2 × 10A + B) × B. Aceasta este exact ce faci când scrii „N_ × _ =” (cu N = 2 × A) în cadranul din dreapta jos la pasul 4. În pasul 5 determini cel mai mare întreg B care se potrivește sub linie, deci (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Se scade aria (2 × 10A + B) × B din aria totală. Aceasta oferă suprafața S- (10A + B) ² pe care nu ați luat-o încă în considerare (și pe care o utilizați pentru a calcula următoarele numere în același mod).
11. Pentru a calcula următoarea cifră C, repetați procedura. Mutați următoarea pereche de numere de la S în jos (S_c) pentru a obține N2 la stânga și căutați cel mai mare C astfel încât să aveți acum: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (egal cu dublul numărului din două cifre urmat de „AB” de "_ × _ =" Acum determinați cel mai mare număr pe care îl puteți introduce aici, ceea ce vă va oferi un răspuns mai mic sau egal cu N2.

sfaturi

• Mutarea virgulei cu două locuri (un factor de 100) mută virgula din rădăcina pătrată corespunzătoare cu un loc (un factor de 10).
• În exemplu, 1,73 ar putea fi considerat „rest”: 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Această metodă funcționează pentru orice sistem numeric, nu doar pentru sistemul zecimal (zecimal).
• Simțiți-vă liber să plasați calculele acolo unde doriți. Unii oameni îl scriu deasupra numărului pe care doresc să-l calculeze rădăcina pătrată.
• O metodă alternativă este următoarea: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). De exemplu, pentru a calcula rădăcina pătrată a lui 780,14, luați întregul al cărui pătrat este cel mai apropiat de 780,14 (28), deci = 780,14, x = 28 și y = -3,86. Completarea și estimarea ne oferă x + y / (2x) și acest lucru dă (termeni simplificați) 78207/2800 sau aproximativ 27.931 (1); termenul următor, 4374188/156607 sau aproximativ 27.930986 (5). Fiecare termen adaugă aproximativ 3 zecimale de precizie la cel anterior.

Avertizări

• Asigurați-vă că împărțiți numărul în perechi de la punctul zecimal. Împărțirea 79520789182.47897 ca „79 52 07 89 18 2,4 78 97 "dă un rezultat incorect.