Conţinut

• A calca

O ecuație trigonometrică este o ecuație cu una sau mai multe funcții trigonometrice ale variabilei curbe trigonometrice x. Rezolvarea pentru x înseamnă găsirea valorilor curbelor trigonometrice ale căror funcții trigonometrice fac ca ecuația trigonometrică să fie adevărată.

• Răspunsurile sau valorile curbelor soluției sunt exprimate în grade sau radiani. Exemple:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 grade; x = 37,12 grade; x = 178,37 grade

• Notă: Pe cercul unității, funcțiile trigonometrice ale oricărei curbe sunt egale cu funcțiile trigonometrice ale unghiului corespunzător. Cercul unitar definește toate funcțiile trigonometrice ale curbei variabile x. De asemenea, este folosit ca dovadă în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice de bază.
• Exemple de ecuații trigonometrice:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + pat x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Cercul unitar.
   • Acesta este un cerc cu Raza = 1, unde O este originea. Cercul unitar definește 4 funcții trigonometrice principale ale curbei variabile x, care o înconjoară în sens invers acelor de ceasornic.
   • Când curba cu valoarea x variază în funcție de cercul unitar, atunci reține:
   • Axa orizontală OAx definește funcția trigonometrică f (x) = cos x.
   • Axa verticală OBy definește funcția trigonometrică f (x) = sin x.
   • Axa verticală AT definește funcția trigonometrică f (x) = tan x.
   • Axa orizontală BU definește funcția trigonometrică f (x) = cot x.

• Cercul unitar este, de asemenea, utilizat pentru a rezolva ecuații trigonometrice de bază și inegalități trigonometrice standard, luând în considerare diferitele poziții ale curbei x pe cerc.

A calca

1. Înțelegeți metoda soluției.
   • Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică o convertiți într-una sau mai multe ecuații trigonometrice de bază. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice duce în cele din urmă la rezolvarea a 4 ecuații trigonometrice de bază.
2. Știți cum să rezolvați ecuațiile trigonometrice de bază.
   • Există 4 ecuații trigonometrice de bază:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; cot x = a
   • Puteți rezolva ecuațiile trigonometrice de bază studiind diferitele poziții ale curbei x pe cercul trigonometric și folosind un tabel de conversie trigonometric (sau un calculator). Pentru a înțelege pe deplin cum să rezolvați aceste ecuații trigonometrice de bază similare, citiți următoarea carte: „Trigonometrie: rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și a inegalităților” (Amazon E-book 2010).
   • Exemplul 1. Rezolvați pentru sin x = 0,866. Tabelul de conversie (sau calculatorul) oferă răspunsul: x = Pi / 3. Cercul trigonometric dă o altă curbă (2Pi / 3) cu aceeași valoare pentru sinus (0,866). Cercul trigonometric oferă, de asemenea, o infinitate de răspunsuri numite răspunsuri extinse.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi și x2 = 2Pi / 3. (Răspunsuri într-o perioadă (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi și x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Răspunsuri detaliate).
   • Exemplul 2. Rezolvați: cos x = -1/2. Calculatoarele dau x = 2 Pi / 3. Cercul trigonometric dă, de asemenea, x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi și x2 = - 2Pi / 3. (Răspunsuri pentru perioada (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi și x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Răspunsuri extinse)
   • Exemplul 3. Rezolvați: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Răspuns)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Răspuns extins)
   • Exemplul 4. Rezolvați: cot 2x = 1.732. Calculatoarele și cercul trigonometric dau:
   • x = Pi / 12; (Răspuns)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Răspunsuri extinse)
3. Aflați transformările utilizate în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.
   • Pentru a converti o ecuație trigonometrică dată în ecuații trigonometrice standard, utilizați conversii algebrice standard (factorizare, factor comun, polinoame ...), definiții și proprietăți ale funcțiilor trigonometrice și ale identităților trigonometrice. Există aproximativ 31, dintre care 14 sunt identități trigonometrice, de la 19 la 31, numite și identități de transformare, deoarece sunt utilizate în conversia ecuațiilor trigonometrice. Vezi cartea de mai sus.
   • Exemplul 5: Ecuația trigonometrică: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 poate fi convertită într-un produs al ecuațiilor trigonometrice de bază folosind identități trigonometrice: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Ecuațiile trigonometrice de bază de rezolvat sunt: ​​cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; și cos (x / 2) = 0.
4. Găsiți curbele pentru care sunt cunoscute funcțiile trigonometrice.
   • Înainte de a putea învăța cum să rezolvați ecuațiile trigonometrice, trebuie să știți cum să găsiți rapid curbele pentru care sunt cunoscute funcțiile trigonometrice. Valorile de conversie ale curbelor (sau unghiurilor) pot fi determinate cu tabele trigonometrice sau cu calculatorul.
   • Exemplu: Rezolvați pentru cos x = 0,732. Calculatorul oferă soluția x = 42,95 grade. Cercul unitar dă alte curbe cu aceeași valoare pentru cosinus.
5. Desenați arcul răspunsului pe cercul unității.
   • Puteți crea un grafic pentru a ilustra soluția pe cercul unității. Punctele finale ale acestor curbe sunt poligoane regulate pe cercul trigonometric. Cateva exemple:
   • Punctele finale ale curbei x = Pi / 3 + k. Pi / 2 este un pătrat pe cercul unității.
   • Curbele x = Pi / 4 + k.Pi / 3 sunt reprezentate de coordonatele unui hexagon pe cercul unitar.
6. Aflați cum să rezolvați ecuațiile trigonometrice.
   • Dacă ecuația trigonometrică dată conține o singură funcție trigonometrică, rezolvați-o ca o ecuație trigonometrică standard. Dacă ecuația dată conține două sau mai multe funcții trigonometrice, există 2 metode de soluție, în funcție de opțiunile de conversie a ecuației.
     • A. Metoda 1.
   • Convertiți ecuația trigonometrică într-un produs de forma: f (x) .g (x) = 0 sau f (x) .g (x) .h (x) = 0, unde f (x), g (x) și h (x) sunt ecuații trigonometrice de bază.
   • Exemplul 6. Rezolvați: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Soluţie. Înlocuiți sin 2x în ecuație folosind identitatea: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Apoi rezolvați 2 funcții trigonometrice standard: cos x = 0 și (sin x + 1) = 0.
   • Exemplul 7. Rezolvați: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Soluție: convertiți acest lucru într-un produs, utilizând identitățile trigonometrice: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Rezolvați acum cele 2 ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2cos x + 1) = 0.
   • Exemplul 8. Rezolvați: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Soluție: convertiți acest lucru într-un produs, utilizând identitățile trigonometrice: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele 2 ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2sin x + 1) = 0.
     • B. Abordarea 2.
   • Convertește ecuația trig într-o ecuație trig cu o singură funcție trig unic ca variabilă. Există câteva sfaturi despre cum să alegeți o variabilă potrivită. Variabilele comune sunt: ​​sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t și tan (x / 2) = t.
   • Exemplul 9. Rezolvați: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Soluţie. În ecuație, înlocuiți (cos ^ 2x) cu (1 - sin ^ 2x) și simplificați ecuația:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Acum folosiți sin x = t. Ecuația devine: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Aceasta este o ecuație pătratică cu 2 rădăcini: t1 = -1 și t2 = 9/5. Putem respinge al doilea t2, pentru că> 1. Acum rezolvați pentru: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Exemplul 10. Rezolvați: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • Soluţie. Folosiți tan x = t. Convertiți ecuația dată într-o ecuație cu t ca variabilă: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Rezolvați pentru t din acest produs, apoi rezolvați ecuația trigonometrică standard tan x = t pentru x.
7. Rezolvați ecuații trigonometrice speciale.
   • Există câteva ecuații trigonometrice speciale care necesită unele conversii specifice. Exemple:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Aflați proprietățile periodice ale funcțiilor trigonometrice.
   • Toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, ceea ce înseamnă că revin la aceeași valoare după o rotație pe o perioadă. Exemple:
     • Funcția f (x) = sin x are 2Pi ca perioadă.
     • Funcția f (x) = tan x are Pi ca perioadă.
     • Funcția f (x) = sin 2x are Pi ca perioadă.
     • Funcția f (x) = cos (x / 2) are 4Pi ca perioadă.
   • Dacă perioada este specificată în exerciții / test, atunci trebuie doar să găsiți curba (curbele) x în această perioadă.
   • NOTĂ: Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice este dificilă și duce adesea la erori și greșeli. Prin urmare, răspunsurile trebuie verificate cu atenție. După rezolvare, puteți verifica răspunsurile folosind un calculator grafic, pentru o reprezentare directă a ecuației trigonometrice date R (x) = 0. Răspunsurile (ca rădăcină pătrată) sunt date în zecimale. De exemplu, Pi are o valoare de 3,14