Conţinut

• Pași
• Sfat

O ecuație pătratică este un polinom cu o singură variabilă unde 2 este cel mai mare exponent al acelei variabile. Există trei modalități principale de a rezolva ecuațiile pătratice: 1) factorizați ecuația în factori, dacă este posibil, 2) folosiți formula pătratică sau 3) completați pătratul. Urmați acești pași pentru a afla cum să deveniți competenți cu aceste trei metode.

Pași

Metoda 1 din 3: Analiza ecuațiilor în factori

1. 

   Adăugați toți aceiași termeni și mutați-i pe o parte a ecuației. Primul pas în factorizarea unei ecuații este de a pune toți termenii săi în lateral, astfel încât să fie pozitivi. Pentru a combina termeni, adăugați sau scăpați toți termenii, orice termeni care conțin și constante (termenii sunt numere întregi), convertiți-i într-o parte și nu lăsați nimic pe cealaltă parte. Apoi puteți scrie „0” pe cealaltă parte a semnului egal. Iată cum se face:

2. 

   
   
   Analizați expresia în factor. Pentru a factoriza o expresie, trebuie să utilizați factorii termenului care conține (3) și factorii constantei (-4), pentru a le multiplica și apoi adăugați-o la termenul central (-11). . Iată cum se face:
   • Deoarece există un singur set de factori posibili și îl puteți rescrie între paranteze astfel :.
   • Apoi, utilizați reducere pentru a combina factorii de 4 pentru a găsi combinația care face -11x atunci când este multiplicat. Puteți folosi 4 și 1 sau 2 și 2 deoarece ambele au un produs de 4. Amintiți-vă că un factor trebuie să fie negativ deoarece termenul nostru este -4.
   • Cu metoda de testare, vom verifica combinația de factori. Când implementăm multiplicarea, obținem. Adăugați termenii și, avem, este exact termenul mediu pe care îl vizăm. Deci tocmai am factorizat funcția pătratică.
   • Ca exemplu al acestui test, să examinăm o combinație defectuoasă (incorectă) de: =. Combinând acești termeni, vom obține. Deși este adevărat că -2 și 2 au produse egale cu -4, termenul intermediar nu este corect, pentru că avem nevoie de el, nu.

3. 

   
   
   Fie ca fiecare expresie dintre paranteze să fie zero ca ecuații individuale. De acolo, găsiți două valori care fac ca ecuația generală să fie egală cu zero = 0. Acum, odată ce luați în calcul ecuația, trebuie doar să includeți expresia între paranteze cu zero. De ce? Asta pentru că pentru produsul zero, avem un „principiu, lege sau proprietate” conform căruia un factor trebuie să fie zero. Prin urmare, cel puțin o valoare între paranteze trebuie să fie zero; adică (3x + 1) sau (x - 4) trebuie să fie zero. Deci avem oricare.

4. 

   
   
   Rezolvați fiecare dintre aceste ecuații „zero” independent. Ecuația pătratică are două soluții posibile. Găsiți fiecare soluție posibilă pentru variabila x separând variabila și notând cele două soluții ca rezultat final. Iată cum:
   • Rezolvați 3x + 1 = 0
     • Scădeți două laturi: 3x = -1 .....
     • Împărțiți laturile: 3x / 3 = -1/3 .....
     • Reduceți: x = -1/3 .....
   • Rezolvați x - 4 = 0
     • Scădeți două laturi: x = 4 .....
   • Scrieți-vă propriile soluții posibile: x = (-1/3, 4) ....., adică x = -1/3 sau x = 4 sunt ambele corecte.

5. 

   Verificați x = -1/3 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   În loc de o expresie, avem (3 + 1)( – 4) ?=? 0..... Restrângeți: (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... Efectuați multiplicarea, obținem (0) (- 4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... Dreapta, x = -1/3 este o soluție a ecuaţie.

6. 

   Verificați x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   În loc de o expresie, avem (3 + 1)( – 4) ?=? 0 ..... Colaps, obținem: (13) (4 - 4)? =? 0 ..... Efectuați multiplicarea: (13) (0) = 0 ..... 0 = 0 ..... Dreapta, x = 4 este o soluție a ecuației.
   • Deci, ambele soluții posibile au fost „testate” individual și se poate confirma că ambele rezolvă problema și că sunt două soluții adevărate separate.
   publicitate

Metoda 2 din 3: Utilizați formula pătratică

1. 

   Adăugați toți aceiași termeni și mutați-i pe o parte a ecuației. Mută ​​toți termenii pe o parte a semnului egal, astfel încât termenul să conțină semnul pozitiv. Rescrieți termenii în ordine descrescătoare, ceea ce înseamnă că termenul este primul, urmat de și, în cele din urmă, constanta. Iată cum:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0

2. 

   Notează-ți formula pătratică. Acesta este:

3. 

   Determinați valorile lui a, b și c în ecuația pătratică. Afară A este coeficientul lui x, b este coeficientul lui x și c este o constantă. Cu ecuația 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 și c = -8. Vă rugăm să notați pe hârtie.

4. 

   Conectați valorile lui a, b și c în ecuație. Acum că cunoașteți valorile celor trei variabile de mai sus, le puteți pune în ecuația astfel:
   • {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)

5. 

   Efectuați calcule. După ce ați înlocuit numerele, efectuați restul calculului pentru a reduce semnele pozitive sau negative, înmulțiți sau păstrați termenii rămași. Iată cum:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6

6. 

   Restrângeți rădăcina pătrată. Dacă sub semnul radical este un pătrat perfect, veți obține un număr întreg. Dacă nu este un pătrat perfect, atunci reduceți-l la cea mai simplă formă radicală. Dacă este negativ, și ești sigur că ar trebui să fie negativ, soluția va fi destul de complicată. În acest exemplu, √ (121) = 11. Am putea scrie: x = (5 +/- 11) / 6.

7. 

   Rezolvați soluțiile pozitive și negative. Dacă ați eliminat rădăcina pătrată, puteți continua până când ați găsit soluțiile pozitive și negative ale lui x. Acum că aveți (5 +/- 11) / 6, puteți scrie două opțiuni:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6

8. 

   Găsiți soluțiile pozitive și negative. Trebuie doar să facem calculul:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6

9. 

   Colaps. Pentru a scurta răspunsurile, trebuie doar să împărțiți atât numărătorul, cât și modelul la cel mai mare divizor comun al acestora. Împarte numeratorul și numitorul primei fracții la 2 și numitorul și numitorul celei de-a doua fracții la 6 și ai găsit x.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)
   publicitate

Metoda 3 din 3: Completați pătratul

1. 

   Mutați toți termenii pe o parte a ecuației. Asigura-te ca A sau x are un semn pozitiv. Iată cum:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • În această ecuație, A egal 2, b este egal cu -12 și c egal cu -9.

2. 

   Mutat mai departe c sau constantă de cealaltă parte. Constantele sunt termeni numerici care nu conțin variabile. Să o mutăm în partea dreaptă a ecuației:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9

3. 

   Împărțiți ambele părți la coeficienți A sau coeficientul lui x. Dacă x nu are niciun termen în față, atunci coeficientul său este 1 și puteți sări peste acest pas. În cazul nostru, ar trebui să împărțiți toți termenii din ecuație la 2, astfel:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2

4. 

   Acțiune b cu două, pătrateți-l și adăugați rezultatul pe ambele părți. În acest exemplu, b este egal cu -6. Facem următoarele:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9

5. 

   Prăbușiți două părți. Pentru a lua în calcul partea stângă, avem (x-3) (x-3) sau (x-3). Adăugați partea dreaptă pentru a obține 9/2 + 9 sau 9/2 + 18/2 și obține 2/27.

6. 

   Găsiți rădăcina pătrată a ambelor părți. Rădăcina pătrată a lui (x-3) este (x-3). Puteți exprima rădăcina pătrată a lui 27/2 ca ± √ (27/2). Deci, x - 3 = ± √ (27/2).

7. 

   Restrângeți semnul radical și găsiți x. Pentru a reduce ± √ (27/2), găsim un pătrat în 27, 2 sau un factor al acestuia. Pătratul perfect 9 este în 27, deoarece 9x3 = 27. Pentru a elimina 9 din semnul radical, îl scoatem și scriem 3, rădăcina pătrată, pe lângă semnul radical. Factorul rămas de 3 din numărător nu poate fi scos, deci rămâne sub semnul radical. În același timp, lăsăm și 2 în eșantionul fracției. Apoi, mutați constanta 3 din partea stângă a ecuației la dreapta și scrieți cele două soluții:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)
   publicitate

Sfat

• După cum se poate observa, semnul radical nu dispare complet. Prin urmare, termenii din numărător nu pot fi cumulativi (deoarece nu sunt termeni de aceeași proprietate). Prin urmare, diviziunea plus-sau-minus nu are sens. În schimb, putem împărți toți factorii comuni, dar DOAR când este constant ȘI Coeficienții oricărui radical conțin, de asemenea, acel factor.
• Dacă semnul radical nu este un pătrat perfect, ultimii pași pot fi luați ușor diferit. Precum:
• Dacă „b” este un număr par, formula va fi: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.