Conţinut

• Pași
• Metoda 1 din 3: Cum să găsiți partea necunoscută
• Metoda 2 din 3: Găsirea unui unghi necunoscut
• Metoda 3 din 3: Exemple de probleme
• sfaturi

Teorema cosinusului este utilizată pe scară largă în trigonometrie. Se folosește atunci când se lucrează cu triunghiuri neregulate pentru a găsi cantități necunoscute, cum ar fi laturile și unghiurile. Teorema este similară teoremei pitagoreice și este destul de ușor de reținut. Teorema cosinusului spune că în orice triunghi ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Pași

Metoda 1 din 3: Cum să găsiți partea necunoscută

1. 1 Notați valorile cunoscute. Pentru a găsi latura necunoscută a unui triunghi, trebuie să cunoașteți celelalte două laturi și unghiul dintre ele.
   • De exemplu, dat un triunghi XYZ. Partea YX este de 5 cm, partea YZ este de 9 cm, iar unghiul Y este de 89 °. Ce este partea XZ?
2. 2 Notați formula teoremei cosinusului. Formulă: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, Unde ${ displaystyle c}$ - petrecere necunoscută, ${ displaystyle cos {C}}$ - cosinusul unghiului opus laturii necunoscute, ${ displaystyle a}$ și ${ displaystyle b}$ - două laturi cunoscute.
3. 3 Conectați valorile cunoscute în formulă. Variabile ${ displaystyle a}$ și ${ displaystyle b}$ denotați două laturi cunoscute. Variabil ${ displaystyle C}$ este unghiul cunoscut care se află între laturi ${ displaystyle a}$ și ${ displaystyle b}$.
   • În exemplul nostru, partea XZ este necunoscută, deci în formulă este denumită ${ displaystyle c}$... Deoarece laturile YX și YZ sunt cunoscute, ele sunt notate de variabile ${ displaystyle a}$ și ${ displaystyle b}$... Variabil ${ displaystyle C}$ este unghiul Y. Deci, formula va fi scrisă după cum urmează: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Găsiți cosinusul unui unghi cunoscut. Faceți-o cu un calculator. Introduceți o valoare a unghiului, apoi faceți clic pe ${ displaystyle COS}$... Dacă nu aveți un calculator științific, găsiți un tabel de cosinus online, de exemplu, aici. De asemenea, în Yandex, puteți introduce „cosinus de X grade” (înlocuiți valoarea unghiului cu X), iar motorul de căutare va afișa cosinusul unghiului.
   • De exemplu, cosinusul este 89 ° ≈ 0,01745. Asa de: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 Înmulțiți numerele. Multiplica ${ displaystyle 2ab}$ de cosinusul unui unghi cunoscut.
   • De exemplu:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 Îndoiți pătratele laturilor cunoscute. Amintiți-vă, pentru a păstra un număr, acesta trebuie înmulțit cu el însuși. Mai întâi, pătrat numerele corespunzătoare, apoi adăugați valorile rezultate.
   • De exemplu:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 Scădeți două numere. Veți găsi ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • De exemplu:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Luați rădăcina pătrată a acestei valori. Pentru a face acest lucru, utilizați un calculator. Așa găsești latura necunoscută.
   • De exemplu:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     Deci, latura necunoscută are 10.2191 cm.

Metoda 2 din 3: Găsirea unui unghi necunoscut

1. 1 Notați valorile cunoscute. Pentru a găsi unghiul necunoscut al unui triunghi, trebuie să cunoașteți toate cele trei laturi ale triunghiului.
   • De exemplu, dat un triunghi RST. CP lateral = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm. Găsiți valoarea unghiului S.
2. 2 Notați formula teoremei cosinusului. Formulă: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, Unde ${ displaystyle cos {C}}$ - cosinusul unui unghi necunoscut, ${ displaystyle c}$ - o latură cunoscută vizavi de un colț necunoscut, ${ displaystyle a}$ și ${ displaystyle b}$ - alte două petreceri celebre.
3. 3 Găsiți valorile A{ displaystyle a}, b{ displaystyle b} și c{ displaystyle c}. Apoi conectați-le la formulă.
   • De exemplu, partea RT este opusă unghiului necunoscut S, deci partea RT este ${ displaystyle c}$ în formulă. Alte părți vor ${ displaystyle a}$ și ${ displaystyle b}$... Deci, formula va fi scrisă după cum urmează: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Înmulțiți numerele. Multiplica ${ displaystyle 2ab}$ de cosinusul unghiului necunoscut.
   • De exemplu, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Ridica c{ displaystyle c} într-un pătrat. Adică, înmulțiți numărul în sine.
   • De exemplu, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Îndoiți pătratele A{ displaystyle a} și b{ displaystyle b}. Dar mai întâi, pătrate numerele corespunzătoare.
   • De exemplu:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Izolați cosinusul unghiului necunoscut. Pentru a face acest lucru, scădeți suma ${ displaystyle a ^ {2}}$ și ${ displaystyle b ^ {2}}$ din ambele părți ale ecuației. Apoi împărțiți fiecare parte a ecuației la factorul de la cosinusul unghiului necunoscut.
   • De exemplu, pentru a izola cosinusul unui unghi necunoscut, scădeți 164 din ambele părți ale ecuației și apoi împărțiți fiecare parte cu -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 Calculați cosinusul invers. Aceasta va găsi valoarea unghiului necunoscut. Pe calculator se indică funcția inversă de cosinus ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • De exemplu, arccosina de 0,0125 este 82,8192. Deci unghiul S este 82,8192 °.

Metoda 3 din 3: Exemple de probleme

1. 1 Găsiți latura necunoscută a triunghiului. Laturile cunoscute sunt de 20 cm și 17 cm, iar unghiul dintre ele este de 68 °.
   • Deoarece vi se dau două laturi și unghiul dintre ele, puteți utiliza teorema cosinusului. Notați formula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Latura necunoscută este ${ displaystyle c}$... Conectați valorile cunoscute la formula: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • calculati ${ displaystyle c ^ {2}}$, respectând ordinea operațiilor matematice:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • Luați rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației. Așa găsiți latura necunoscută:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     Deci, latura necunoscută are 20,8391 cm.
2. 2 Găsiți unghiul H în triunghiul GHI. Cele două laturi adiacente colțului H au 22 și 16 cm. Partea opusă colțului H are 13 cm.
   • Deoarece toate cele trei laturi sunt date, teorema cosinusului poate fi utilizată. Notați formula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Partea opusă colțului necunoscut este ${ displaystyle c}$... Conectați valorile cunoscute la formula: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Simplificați expresia rezultată:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Izolați cosinusul:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Găsiți cosinusul invers. Acesta este modul în care calculați unghiul necunoscut:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Astfel, unghiul H este de 35,7985 °.
3. 3 Găsiți lungimea traseului. Căile fluviale, deluroase și de mlaștină formează un triunghi. Lungimea traseului râului este de 3 km, lungimea traseului deal este de 5 km; aceste trasee se intersectează între ele la un unghi de 135 °. Traseul mlaștinii leagă cele două capete ale celorlalte trasee. Găsiți lungimea Swamp Trail.
   • Traseele formează un triunghi. Trebuie să găsiți lungimea căii necunoscute, care este partea triunghiului. Deoarece lungimile celorlalte două căi și unghiul dintre ele sunt date, se poate utiliza teorema cosinusului.
   • Notați formula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Calea necunoscută (Mlaștină) va fi notată ca fiind ${ displaystyle c}$... Conectați valorile cunoscute la formula: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • calculati ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • Luați rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației. Astfel găsiți lungimea căii necunoscute:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     Deci, lungimea Swamp Trail este de 7.4306 km.

sfaturi

• Este mai ușor să folosiți teorema sinusului. Prin urmare, aflați mai întâi dacă poate fi aplicat la problema dată.