Conţinut

• Pași
• Partea 1 din 3: Factorizarea binomilor
• Partea 2 din 3: Factorizarea binomilor pentru rezolvarea ecuațiilor
• Partea 3 din 3: Rezolvarea problemelor complexe
• sfaturi
• Avertizări

Un binom (binom) este o expresie matematică cu doi termeni între care există un semn plus sau minus, de exemplu, ${ displaystyle ax + b}$... Primul membru include variabila, iar al doilea o include sau nu. Factorizarea unui binom implică găsirea termenilor care, atunci când sunt înmulțiți, produc binomul original pentru a-l rezolva sau simplifica.

Pași

Partea 1 din 3: Factorizarea binomilor

1. 1 Înțelegeți elementele de bază ale procesului de factoring. Când se ia în considerare un binom, factorul care este divizorul fiecărui termen al binomului original este scos din paranteză. De exemplu, numărul 6 este complet divizibil cu 1, 2, 3, 6. Astfel, divizorii numărului 6 sunt numerele 1, 2, 3, 6.
   • Divizoare 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Divizorii oricărui număr sunt 1 și numărul în sine. De exemplu, divizorii lui 3 sunt 1 și 3.
   • Divizorii întregi pot fi numai numere întregi. Numărul 32 poate fi împărțit la 3,564 sau 21,4952, dar nu obțineți un număr întreg, ci o fracție zecimală.
2. 2 Comandați termenii binomului pentru a facilita procesul de factoring. Un binom este suma sau diferența a doi termeni, dintre care cel puțin unul conține o variabilă. Uneori, variabilele sunt ridicate la o putere, de exemplu, ${ displaystyle x ^ {2}}$ sau ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... Este mai bine să ordonați termenii binomului în ordine crescătoare a exponenților, adică termenul cu cel mai mic exponent este scris mai întâi și cu cel mai mare - ultimul. De exemplu:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Observați semnul minus în fața lui 2. Dacă se scade un termen, scrieți un semn minus în fața acestuia.
3. 3 Găsiți cel mai mare divizor comun (GCD) dintre ambii termeni. GCD este cel mai mare număr cu care ambii membri ai binomului sunt divizibili. Pentru a face acest lucru, găsiți divizorii fiecărui termen din binom, apoi selectați cel mai mare divizor comun. De exemplu:
   • O sarcină:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Divizoare 3: 1, 3
     • Divizoare 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Împărțiți fiecare termen din binom la cel mai mare divizor comun (GCD). Faceți acest lucru pentru a calcula GCD. Rețineți că fiecare membru al binomului scade (deoarece este divizibil), dar dacă GCD este exclus din paranteză, expresia finală va fi egală cu cea originală.
   • O sarcină:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Găsiți GCD: 3
   • Împarte fiecare termen binomial la gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Mutați divizorul din paranteze. Anterior, ați împărțit ambii termeni ai binomului la divizorul 3 și ați obținut ${ displaystyle t + 2}$... Dar nu puteți scăpa de 3 - pentru ca valorile expresiilor inițiale și finale să fie egale, trebuie să puneți 3 în afara parantezelor și să scrieți expresia obținută ca rezultat al divizării între paranteze. De exemplu:
   • O sarcină:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Găsiți GCD: 3
   • Împarte fiecare termen binomial la gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Înmulțiți divizorul cu expresia rezultată:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Răspuns: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Verifica-ti raspunsul. Pentru a face acest lucru, înmulțiți termenul dinaintea parantezelor cu fiecare termen din paranteze. Dacă obțineți binomul original, soluția este corectă. Acum rezolvă problema ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Comandați membrii:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Găsiți GCD:${ displaystyle 6}$
   • Împarte fiecare termen binomial la gcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Înmulțiți divizorul cu expresia rezultată:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Verificați răspunsul:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Partea 2 din 3: Factorizarea binomilor pentru rezolvarea ecuațiilor

1. 1 Factorizați binomul pentru al simplifica și a rezolva ecuația. La prima vedere, pare imposibil să se rezolve unele ecuații (în special cu binomii complecși). De exemplu, rezolvați ecuația ${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$... Există puteri în această ecuație, deci luați în considerare mai întâi expresia.
   • O sarcină:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Amintiți-vă că un binom are doi membri. Dacă expresia include mai mulți termeni, aflați cum să rezolvați polinoame.
2. 2 Adăugați sau scădeți ceva monomial pe ambele părți ale ecuației, astfel încât zero să rămână pe o parte a ecuației. În cazul factorizării, soluția la ecuații se bazează pe faptul imuabil că orice expresie înmulțită cu zero este egală cu zero. Prin urmare, dacă echivalăm ecuația cu zero, atunci oricare dintre factorii săi trebuie să fie egal cu zero. Setați o parte a ecuației la 0.
   • O sarcină:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Setați la zero:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Factorizați coșul rezultat. Faceți acest lucru așa cum este descris în secțiunea anterioară. Găsiți cel mai mare factor comun (GCD), împărțiți ambii termeni ai binomului la acesta, apoi mutați factorul din paranteze.
   • O sarcină:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Setați la zero:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Factor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Setați fiecare factor la zero. În expresia rezultată, 2y se înmulțește cu 4 - y, iar acest produs este egal cu zero. Deoarece orice expresie (sau termen) înmulțită cu zero este zero, atunci 2y sau 4 - y este 0. Setați monomiul și binomul rezultat la zero pentru a găsi „y”.
   • O sarcină:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Setați la zero:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Factor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Setați ambii factori la 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Rezolvați ecuațiile rezultate pentru a găsi răspunsul (sau răspunsurile) finale. Deoarece fiecare factor este egal cu zero, ecuația poate avea mai multe soluții. În exemplul nostru:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Verifica-ti raspunsul. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile găsite în ecuația inițială. Dacă egalitatea este adevărată, decizia este corectă. Înlocuiți valorile găsite în loc de „y”. În exemplul nostru, y = 0 și y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Aceasta este decizia corectă
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$Și aceasta este decizia corectă

Partea 3 din 3: Rezolvarea problemelor complexe

1. 1 Amintiți-vă că un termen cu o variabilă poate fi, de asemenea, factorizat, chiar dacă variabila este ridicată la o putere. Când luați în calcul, trebuie să găsiți un monomiu care să împartă fiecare membru al binomului integral. De exemplu, monomiul ${ displaystyle x ^ {4}}$ poate fi factorizat ${ displaystyle x * x * x * x}$... Adică, dacă al doilea termen al binomului conține și variabila „x”, atunci „x” poate fi scos din paranteze. Astfel, tratați variabilele ca numere întregi. De exemplu:
   • Ambii membri ai binomului ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ conține „t”, deci „t” poate fi scos din paranteză: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • De asemenea, o variabilă ridicată la o putere poate fi scoasă din paranteză. De exemplu, ambii membri ai binomului ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ conține ${ displaystyle x ^ {2}}$, asa de ${ displaystyle x ^ {2}}$ poate fi scos din paranteză: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Adăugați sau scadeți termeni similari pentru a obține un binom. De exemplu, având în vedere expresia ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... La prima vedere, acesta este un polinom, dar de fapt, această expresie poate fi convertită într-un binom. Adăugați termeni similari: 6 și 14 (nu conțin o variabilă) și 2x și 3x (conține aceeași variabilă „x”). În acest caz, procesul de factoring va fi simplificat:
   • Expresie originală:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Comandați membrii:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Adăugați termeni similari:${ displaystyle 5x + 20}$
   • Găsiți GCD:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Factor:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Factorizați diferența de pătrate perfecte. Un pătrat perfect este un număr a cărui rădăcină pătrată este un număr întreg, de exemplu ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ și chiar ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Dacă binomul este diferența de pătrate perfecte, de exemplu, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, apoi este factorizat prin formula:
   • Formula diferenței de pătrate:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$
   • O sarcină:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Extrageți rădăcinile pătrate:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Înlocuiți valorile găsite în formula: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x-3)}$
4. 4 Factorizați diferența dintre cuburile complete. Dacă binomul este diferența de cuburi complete, de exemplu, ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, apoi se factorizează folosind o formulă specială. În acest caz, este necesar să extrageți rădăcina cubică din fiecare membru al binomului și să înlocuiți valorile găsite în formulă.
   • Formula diferenței dintre cuburi:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a-b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • O sarcină:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Extrageți rădăcini cubice:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Înlocuiți valorile găsite în formula: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x-3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Factorizați suma cuburilor complete. Spre deosebire de suma pătratelor perfecte, suma cuburilor complete, de exemplu, ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, poate fi factorizat folosind o formulă specială. Este similar cu formula diferenței dintre cuburi, dar semnele sunt inversate. Formula este destul de simplă - pentru ao utiliza, găsiți suma cuburilor pline în problemă.
   • Formula pentru suma cuburilor:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • O sarcină:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Extrageți rădăcini cubice:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Înlocuiți valorile găsite în formula: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

sfaturi

• Uneori membrii binomiali nu au un divizor comun. În unele sarcini, membrii sunt prezentați într-o formă simplificată.
• Dacă nu puteți găsi GCD imediat, începeți prin împărțirea la numere mici. De exemplu, dacă nu vedeți că GCD al numerelor 32 și 16 este 16, împărțiți ambele numere la 2. Obțineți 16 și 8; aceste numere pot fi împărțite la 8. Acum obțineți 2 și 1; aceste numere nu pot fi reduse. Astfel, este evident că există un număr mai mare (comparativ cu 8 și 2), care este divizorul comun al celor două numere date.
• Rețineți că termenii de ordinul șase (cu un exponent de 6, de exemplu x) sunt atât pătrate perfecte, cât și cuburi perfecte. Astfel, la binomii cu termeni de ordinul șase, de exemplu, x - 64, se pot aplica (în orice ordine) formulele pentru diferența de pătrate și diferența de cuburi. Dar este mai bine să aplicați mai întâi formula pentru diferența de pătrate pentru a se descompune mai corect cu un binom.

Avertizări

• Un binom, care este suma pătratelor perfecte, nu poate fi factorizat.