Conţinut

• Pași

O ecuație trigonometrică conține una sau mai multe funcții trigonometrice ale variabilei "x" (sau orice altă variabilă). Rezolvarea unei ecuații trigonometrice înseamnă găsirea unei astfel de valori "x" care să satisfacă funcția (funcțiile) și ecuația în ansamblu.

• Soluțiile la ecuațiile trigonometrice sunt exprimate în grade sau radiani. Exemple:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 grade; x = 37,12 grade; x = 178,37 grade.

• Notă: valorile funcțiilor trigonometrice din unghiuri, exprimate în radiani și din unghiuri, exprimate în grade, sunt egale. Un cerc trigonometric cu o rază egală cu unul este folosit pentru a descrie funcțiile trigonometrice, precum și pentru a verifica corectitudinea soluției ecuațiilor și inegalităților trigonometrice de bază.
• Exemple de ecuații trigonometrice:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Un cerc trigonometric cu o rază de unu (cerc de unitate).
   • Este un cerc cu o rază egală cu unu și centru în punctul O. Cercul unitar descrie 4 funcții trigonometrice de bază ale variabilei „x”, unde „x” este unghiul măsurat din direcția pozitivă a axei X în sens invers acelor de ceasornic.
   • Dacă „x” este un unghi pe cercul unității, atunci:
   • Axa orizontală OAx definește funcția F (x) = cos x.
   • Axa verticală OBy definește funcția F (x) = sin x.
   • Axa verticală AT definește funcția F (x) = tan x.
   • Axa orizontală BU definește funcția F (x) = ctg x.

• Cercul unitar este, de asemenea, utilizat pentru a rezolva ecuații și inegalități trigonometrice de bază (diferite poziții ale lui "x" sunt considerate pe el).

Pași

1. 1 Conceptul de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
   • Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, convertiți-o în una sau mai multe ecuații trigonometrice de bază. Rezolvarea unei ecuații trigonometrice se rezumă în cele din urmă la rezolvarea a patru ecuații trigonometrice de bază.
2. 2 Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază.
   • Există 4 tipuri de ecuații trigonometrice de bază:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază implică examinarea diferitelor poziții x pe cercul unității și utilizarea unui tabel de conversie (sau calculator).
   • Exemplul 1. sin x = 0,866. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator), veți obține răspunsul: x = π / 3. Cercul unitar dă un alt răspuns: 2π / 3. Amintiți-vă: toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, adică valorile lor sunt repetate. De exemplu, periodicitatea sin x și cos x este 2πn, iar periodicitatea tg x și ctg x este πn. Prin urmare, răspunsul este scris după cum urmează:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Exemplul 2.cos x = -1/2. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator), veți obține răspunsul: x = 2π / 3. Cercul unitar dă un alt răspuns: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Exemplul 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Răspuns: x = π / 4 + πn.
   • Exemplul 4. ctg 2x = 1.732.
   • Răspuns: x = π / 12 + πn.
3. 3 Transformări utilizate pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.
   • Pentru a transforma ecuațiile trigonometrice, se utilizează transformări algebrice (factorizare, reducerea termenilor omogeni etc.) și identități trigonometrice.
   • Exemplul 5. Folosind identități trigonometrice, ecuația sin x + sin 2x + sin 3x = 0 se transformă în ecuația 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Astfel, trebuie să rezolvați următoarele ecuații trigonometrice de bază: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Găsirea unghiurilor din valorile cunoscute ale funcțiilor.
   • Înainte de a învăța metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice, trebuie să învățați cum să găsiți unghiuri din valorile cunoscute ale funcțiilor. Acest lucru se poate face folosind un tabel de conversie sau un calculator.
   • Exemplu: cos x = 0,732. Calculatorul va da răspunsul x = 42,95 grade. Cercul unitar va da unghiuri suplimentare, al căror cosinus este, de asemenea, 0,732.
5. 5 Puneți soluția deoparte pe cercul unității.
   • Puteți amâna soluțiile la ecuația trigonometrică pe cercul unitar. Soluțiile ecuației trigonometrice pe cercul unitar sunt vârfurile unui poligon regulat.
   • Exemplu: Soluțiile x = π / 3 + πn / 2 pe cercul unitar sunt vârfurile unui pătrat.
   • Exemplu: Soluțiile x = π / 4 + πn / 3 pe cercul unitar reprezintă vârfurile unui hexagon regulat.
6. 6 Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
   • Dacă o anumită ecuație trig conține o singură funcție trig, rezolvați acea ecuație ca ecuație trig de bază.Dacă o ecuație dată include două sau mai multe funcții trigonometrice, atunci există 2 metode pentru rezolvarea unei astfel de ecuații (în funcție de posibilitatea transformării sale).
     • Metoda 1.
   • Convertiți această ecuație într-o ecuație de forma: f (x) * g (x) * h (x) = 0, unde f (x), g (x), h (x) sunt ecuațiile trigonometrice de bază.
     
     
   • Exemplu 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Soluţie. Folosind formula cu unghi dublu sin 2x = 2 * sin x * cos x, înlocuiți sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos x = 0 și (sin x + 1) = 0.
   • Exemplul 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Soluție: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de formă: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2cos x + 1) = 0.
   • Exemplul 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Soluție: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2sin x + 1) = 0.
     • Metoda 2.
   • Convertiți ecuația trigonometrică dată într-o ecuație care conține o singură funcție trigonometrică. Apoi înlocuiți această funcție trigonometrică cu unele necunoscute, de exemplu, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t etc.).
   • Exemplul 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Soluţie. În această ecuație, înlocuiți (cos ^ 2 x) cu (1 - sin ^ 2 x) (prin identitate). Ecuația transformată este:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Înlocuiți sin x cu t. Acum ecuația arată astfel: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Aceasta este o ecuație pătratică cu două rădăcini: t1 = -1 și t2 = 9/5. A doua rădăcină t2 nu satisface gama de valori a funcției (-1 sin x 1). Acum decideți: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Exemplul 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Soluţie. Înlocuiți tg x cu t. Rescrieți ecuația originală după cum urmează: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Acum găsiți t și apoi găsiți x pentru t = tg x.
7. 7 Ecuații trigonometrice speciale.
   • Există mai multe ecuații trigonometrice speciale care necesită transformări specifice. Exemple:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Periodicitatea funcțiilor trigonometrice.
   • După cum sa menționat anterior, toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, adică valorile lor se repetă după o anumită perioadă. Exemple:
     • Perioada funcției f (x) = sin x este 2π.
     • Perioada funcției f (x) = tan x este egală cu π.
     • Perioada funcției f (x) = sin 2x este π.
     • Perioada funcției f (x) = cos (x / 2) este 4π.
   • Dacă perioada este specificată în problemă, calculați valoarea „x” în această perioadă.
   • Notă: Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice nu este o sarcină ușoară și duce adesea la erori. Deci, verificați-vă cu atenție răspunsurile. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza un calculator grafic pentru a trasa ecuația dată R (x) = 0. În astfel de cazuri, soluțiile vor fi prezentate ca fracții zecimale (adică π este înlocuit cu 3.14).