Găsiți inversul matricei 3x3 - Sfaturi

Conţinut

Pași
Sfat
Avertizare

Inversiunea este adesea utilizată în calcul pentru a simplifica problemele problematice în alte moduri. De exemplu, este mai ușor să se înmulțească cu inversul unei fracții decât să se împartă direct cu acel număr. Acesta este inversul. La fel, deoarece nu există semne de fracție pentru matrice, va trebui să-i multiplicați matricea inversă. Calculul matricei inverse a unei matrice 3x3 poate fi foarte obositor, dar este o problemă demnă de luat în considerare. De asemenea, puteți utiliza un calculator grafic avansat pentru a face acest lucru.

Pași

Metoda 1 din 3: Creați o matrice suplimentară pentru a găsi matricea inversă

Verificați determinantul matricei. Primul pas: găsiți determinantul matricei. Dacă determinantul este 0, asta se face: această matrice nu este reversibilă. Determinantul unei matrice M poate fi notat det (M).
- Pentru a găsi inversul unei matrice 3x3, trebuie mai întâi să calculați determinantul acesteia.
- Pentru a examina modul de găsire a determinantului unei matrice, consultați articolul Găsirea factorilor determinanți ai matricei 3x3.
Transpunerea matricei originale. Transpunerea înseamnă reflectarea matricei pe diagonala principală sau, cu alte cuvinte, schimbarea elementului (i, j) și a elementului (j, i). Când transpuneți elementele unei matrice, diagonala principală (care trece de la colțul din stânga sus până la colțul din dreapta jos) rămâne constantă.
- Un alt mod de a înțelege transpunerea este că veți rescrie matricea astfel încât primul rând să devină prima coloană, rândul din mijloc să devină coloana din mijloc, iar al treilea rând să devină a treia coloană. Observați elementele de culoare din ilustrația de mai sus și observați noua poziție a numerelor.
Găsiți determinantul fiecărei sub-matrice 2x2. Toate elementele noii matrice de deplasare 3x3 sunt legate de o matrice „sub” corespunzătoare de 2x2. Pentru a găsi sub-matricea fiecărui element, evidențiați mai întâi rândul și coloana primului element. Toate cele 5 elemente vor fi evidențiate. Restul de patru elemente formează sub-matricea.
- În exemplul de mai sus, dacă doriți să găsiți o sub-matrice a elementului din rândul doi, coloana unu, evidențiați cinci părți ale cuvântului în al doilea rând și prima coloană. Celelalte patru elemente sunt sub-matricea corespunzătoare.
- Găsiți determinantul fiecărei sub-matrice înmulțind în diagonală și scăzând două produse una de alta, așa cum se arată în figura de mai sus.
- Citiți mai multe pentru a afla mai multe despre sub-matrice și utilizările acestora.
Faceți o matrice de subsecțiuni algebrice. Așezați rezultatul obținut din pasul anterior într-o nouă matrice compusă din subsecțiuni algebrice plasând fiecare sub-matrice determinant în poziția corespunzătoare în matricea originală. Astfel, determinantul calculat din elementul (1,1) al matricei originale va fi plasat în poziția (1,1). Apoi, va trebui să schimbați semnul de înlocuire a acestei noi matrice în conformitate cu tabelul de referință prezentat în ilustrația de mai sus.
- Atunci când se determină semnul, se păstrează marca primei molecule a conducătorului. Semnul celui de-al doilea element este inversat. Se păstrează semnul celui de-al treilea element. Continuați așa pentru restul matricei. Rețineți că semnul (+) sau (-) din graficul de referință nu indică faptul că până la final, elementul va purta un semn pozitiv sau negativ. Acestea arată doar că elementele vor fi păstrate intacte (+) sau modificate cu (-).
- Consultați elementele de bază ale matricei pentru mai multe despre apendicele algebrice.
- Rezultatul final pe care îl obținem în acest pas este matricea complementară a matricei originale. Uneori se mai numește și o matrice conjugată și se notează Adj (M).
Împărțiți toate elementele matricei complementului la determinant. Folosiți determinantul matricei M pe care ați calculat-o în primul pas (pentru a verifica dacă matricea este reversibilă). Acum împărțiți fiecare element al matricei la această valoare. Puneți coeficientul fiecărei diviziuni în poziția elementului original și obținem matricea inversă a matricei originale.
- Matricea eșantion prezentată în ilustrație are determinantul 1. Prin urmare, atunci când împărțim fiecare element al matricei complementare la determinant, ne obținem singuri (nu veți fi întotdeauna atât de norocoși). .
- În loc să împartă, unele documente demonstrează acest pas ca înmulțind fiecare element al lui M cu 1 / det (M). Din punct de vedere matematic, acestea sunt echivalente.
publicitate

Metoda 2 din 3: micșorați rândul liniar pentru a găsi matricea inversă

Adăugați matricea unitară la matricea originală. Scrieți matricea de bază M, trageți o linie verticală la dreapta acelei matrice și apoi scrieți matricea unitară la dreapta acestei linii. În acest moment, avem o matrice cu trei rânduri și șase coloane.
- Amintiți-vă că matricea de identitate este o matrice specială cu toate elementele pe diagonala principală, care rulează din colțul din stânga sus până în colțul din dreapta jos, egal cu 1 și toate elementele din pozițiile rămase egale cu zero.
Efectuați o reducere liniară de rând. Scopul aici este de a crea matricea unitară în partea stângă a matricii nou extinse. Când efectuați pașii de reducere a rândurilor din stânga, trebuie să faceți partea corespunzătoare din dreapta - partea care este matricea unității dvs.
- Amintiți-vă că reducerea rândurilor se realizează ca o combinație de multiplicare scalară și adunare sau scădere a rândurilor, pentru a izola elemente individuale ale matricei.
Continuați până când se formează matricea unitară. Continuați reducerea liniară până când apare matricea de identitate (elementele de pe diagonală sunt egale cu 1, alte elemente sunt egale cu 0) în partea stângă a matricei extinse. Odată ce acest pas este atins, partea dreaptă a divizorului vertical este matricea inversă a matricei originale.
Rescrieți matricea inversă. Duplicați elementele aflate în prezent în partea dreaptă a separatorului vertical și aceasta este matricea inversă. publicitate

Metoda 3 din 3: Găsiți matricea inversă cu calculatorul de buzunar

Alegeți un calculator care poate rezolva matrici. Un calculator simplu cu patru funcții nu va putea găsi matricea inversă direct pentru dvs. Cu toate acestea, din cauza repetării matematice, un calculator grafic avansat, cum ar fi Texas Instruments TI-83 sau TI-86, vă poate reduce foarte mult munca de făcut.
Introduceți matricea în calculator. Mai întâi, introduceți funcția Matrix a calculatorului dvs. apăsând tasta Matrix, dacă este disponibilă pe dispozitiv. Cu aparatul Texas Instruments, va trebui să apăsați 2 Matrix.
Selectați submeniul Editați. Pentru a accesa acest submeniu, poate fi necesar să utilizați butoanele săgeată sau să selectați tastele funcționale corespunzătoare situate în rândul superior al tastaturii computerului, în funcție de designul acestuia.
Alegeți un nume pentru matricea dvs. Majoritatea calculatoarelor de buzunar sunt echipate să funcționeze cu 3 până la 10 matrici, numite litere, de la A la J. În mod normal, să începem cu. Apăsați tasta Enter pentru a confirma selectarea numelui.
Introduceți dimensiunea matricei. Acest articol se concentrează pe matrici 3x3. Cu toate acestea, calculatoarele de buzunar pot gestiona matrici mai mari. Introduceți numărul de rânduri, apăsați Enter, apoi tastați numărul coloanei și apăsați Enter.
Introduceți fiecare element al matricei. O matrice va fi afișată pe ecranul computerului. Dacă ați mai lucrat cu funcția matrice, matricea cu care ați lucrat înainte va apărea pe ecran. Cursorul va marca primul element al matricei. Introduceți valoarea matricei pe care doriți să o rezolvați și apăsați Enter. Cursorul se va muta automat la următorul element, suprascriind orice valori anterioare.
- Dacă doriți să introduceți numere negative, utilizați butonul negativ (-) al calculatorului, nu tasta minus. Funcția matrice nu va fi citită corect.
- Dacă este necesar, puteți utiliza tastele săgeată de pe calculator pentru a vă deplasa prin matrice.
Ieșiți din funcția matrice. După ce ați introdus întreaga valoare a matricei, apăsați tasta Ieșire - Ieșire (sau 2 Ieșire, dacă este necesar). Datorită acestui fapt, ieșiți din funcția Matrix și reveniți la ecranul principal de afișare al calculatorului.
Folosiți tasta inversă pentru a găsi matricea inversă. Mai întâi, redeschideți funcția Matrix și utilizați butonul Nume pentru a selecta numele matricei pe care l-ați dat matricei (ar putea fi). Apoi, apăsați tasta inversă a calculatorului. În funcție de dispozitiv, poate fi necesar să utilizați butonul 2. Apare ecranul. Apăsați Enter și matricea inversă va apărea pe ecran.
- Nu utilizați butonul ^ de pe computer atunci când încercați să introduceți A ^ -1 cu clicuri individuale. Computerele nu vor înțelege această matematică.
- Dacă primiți un mesaj de eroare când apăsați tasta inversă, este mai probabil ca matricea părinte să nu fie reversibilă. Poate ar trebui să vă întoarceți și să fiți calitativi pentru a determina dacă aceasta este cauza erorii.
Convertiți matricea inversă în răspunsul corect. Primul rezultat returnat de computer este afișat în zecimal. Acesta nu este neapărat răspunsul „corect” în majoritatea scopurilor. Ar trebui să convertiți acest răspuns zecimal într-o fracție, dacă este necesar (dacă aveți noroc, toate rezultatele dvs. sunt întregi. Cu toate acestea, este foarte rar).
- Poate că calculatorul dvs. are o funcție care convertește automat zecimale în fracții. De exemplu, când utilizați TI-86, puteți merge la funcția Matematică, selectați Diverse apoi Frac și apăsați Enter. Zecimalele vor fi reprezentate automat ca fracții.
Majoritatea calculatoarelor grafice au paranteze pătrate (pentru TI-84, adică 2nd + x și 2nd + -) care vă permit să introduceți o matrice fără a utiliza funcția matrice. Notă: Este posibil ca un calculator să nu formateze o matrice până când nu este utilizată tasta Enter / equal (ceea ce înseamnă că totul va fi pe același rând și nu prea frumos). publicitate

Sfat

Puteți urma acești pași pentru a găsi inversul unei matrice care conține nu numai numere, ci și variabile, necunoscute sau chiar expresii algebrice.
Notați toți pașii, deoarece găsirea inversă a unei matrice 3x3 doar făcând matematică este extrem de dificilă.
Există programe de calcul care vă ajută să găsiți matrici inverse, inclusiv până la matrice 30x30.
Indiferent de metoda utilizată, verificați acuratețea rezultatului înmulțind M cu M. Veți confirma că M * M = M * M = I. Unde, I este matricea unitară , este compus din elemente 1 situate de-a lungul diagonalei principale și zerouri în altă parte. Dacă nu obțineți astfel de rezultate, trebuie să fi greșit undeva.