Conţinut

• Pași
• Sfat
• Avertizare

Două fracții sunt numite echivalente dacă au aceeași valoare. Știind cum să transformi o fracție în formele sale echivalente este o abilitate esențială în matematică pentru orice, de la algebră de bază la matematică avansată. Acest articol va introduce mai multe moduri de a calcula fracții echivalente de la înmulțirea și împărțirea de bază la metode mai complexe pentru rezolvarea ecuațiilor cu fracții echivalente.

Pași

Metoda 1 din 5: Creați fracții echivalente

1. 

   Înmulțiți numărătorul și numitorul cu același număr. Prin definiție, două fracții diferite, dar echivalente, au numeratorul și numitorul sunt multipli între ei. Cu alte cuvinte, înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții cu același număr rezultă o fracție echivalentă. Deși numerele de pe noile fracții vor fi diferite, ele vor avea aceleași valori.
   • De exemplu, dacă luăm fracția 4/8 și înmulțim numărătorul și eșantionul cu 2, obținem (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Aceste două fracții sunt echivalente.
   • (4 × 2) / (8 × 2) este exact la fel ca 4/8 × 2/2. Amintiți-vă că atunci când înmulțim două fracții, ne înmulțim orizontal, adică numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul.
   • Rețineți că 2/2 este egal cu 1 când faceți împărțirea. Prin urmare, este ușor de văzut de ce 4/8 și 8/16 sunt egale, deoarece 4/8 × (2/2) este încă = 4/8. La fel 4/8 = 8/16.
   • Orice fracție are un număr infinit de fracții echivalente. Puteți înmulți numeratorul și numitorul cu orice număr întreg, mare sau mic, pentru a produce o fracție echivalentă.

2. 

   
   
   Împarte numeratorul și numitorul la același număr. La fel ca înmulțirea, împărțirea este de asemenea utilizată pentru a găsi o nouă fracție care este echivalentă cu fracția inițială. Pur și simplu împărțiți numărătorul și numitorul unei fracții la același număr pentru a obține o fracție echivalentă. Cu toate acestea, fracția obținută trebuie să aibă atât numărătorul, cât și eșantionul să fie întregi.
   • De exemplu, priviți înapoi la fracțiunea 4/8. În loc să înmulțim, împărțim atât numărătorul, cât și numitorul la 2, avem (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 și 4 sunt ambii întregi, deci această fracție echivalentă este valabilă.
   publicitate

Metoda 2 din 5: Utilizarea multiplicării de bază pentru a determina echivalența

1. 

   
   
   Găsiți numărul în care numitorul mai mare este înmulțit cu numitorul mai mic. Multe probleme ale fracțiunilor implică determinarea dacă două fracții sunt egale sau nu. Calculând acest număr, puteți returna fracțiile la același termen pentru a determina echivalența.
   • De exemplu, preluați fracțiile 4/8 și 8/16. Numitorul mai mic este 8 și va trebui să înmulțim acel număr cu 2 pentru a obține numitorul mai mare de 16. Deci, numărul de căutat în acest caz este 2.
   • Pentru numere mai complexe, trebuie doar să împărțiți numitorul mare la numitorul mic. În exemplul de mai sus 16 împărțit la 8, rezultatul este 2.
   • Acest număr nu este întotdeauna un număr întreg. De exemplu, dacă numitorii sunt 2 și 7, atunci 7 împărțit la 2 este egal cu 3,5.

2. 

   
   
   Numărătorul și numitorul fracției sunt exprimate în termenul inferior cu numărul identificat în pasul de mai sus. Prin definiție, există două fracții diferite, dar echivalente Numărătorul și numitorul sunt multipli între ei. Cu alte cuvinte, înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții cu același număr rezultă o fracție echivalentă. Deși numerele din această nouă fracție vor fi diferite, valorile lor sunt aceleași.
   • De exemplu, dacă luăm fracțiunea 4/8 din pasul unu și înmulțim atât numărătorul, cât și eșantionul cu numărul 2 specificat anterior, avem (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Asta dovedește că aceste două fracții sunt echivalente.
   publicitate

Metoda 3 din 5: Utilizarea diviziunii de bază pentru a determina echivalența

1. 

   Împărțiți fiecare fracție într-o zecimală. Pentru fracțiile simple fără variabile, trebuie să reprezentați fiecare fracție doar ca o zecimală pentru a determina echivalența. Deoarece fiecare fracție este în esență o diviziune, acesta este cel mai simplu mod de a determina echivalența.
   • De exemplu, luați fracția 4/8 de mai sus. Fracția 4/8 este egală cu 4 împărțită la 8, 4/8 = 0,5. Puteți împărți acea fracție așa, 8/16 = 0,5. Indiferent de formatul fracțiilor, acestea sunt echivalente dacă cele două numere sunt egale atunci când sunt exprimate în zecimale.
   • Amintiți-vă că reprezentarea zecimală poate produce multe cifre înainte de a concluziona că acestea nu sunt echivalente. Un exemplu de bază este 1/3 = 0,333 ... în timp ce 3/10 = 0,3. Doar mai mult de o cifră, constatăm că aceste două fracții nu sunt echivalente.

2. 

   Împărțiți numărătorul și numitorul unei fracții la același număr pentru a obține o fracție echivalentă. Pentru fracțiile mai complexe, această metodă de divizare necesită pași suplimentari. La fel ca înmulțirea, puteți împărți numărătorul și numitorul unei fracții la același număr pentru a obține o fracție echivalentă. Cu toate acestea, fracția obținută trebuie să aibă atât numărătorul, cât și eșantionul să fie întregi.
   • Exemplu de fracțiune 4/8. În loc să ne înmulțim, suntem acțiune Atât numeratorul, cât și numitorul dau 2, obținem (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 și 4 sunt ambii întregi, deci această fracție echivalentă este validă.

3. 

   
   
   Reduceți fracția la forma sa minimă. Majoritatea fracțiilor sunt de obicei exprimate într-o formă minimă și le puteți readuce la forma lor minimă împărțind la cel mai mare factor comun al numărătorului și al eșantionului. Acest pas funcționează în aceeași logică a reprezentării fracțiilor echivalente prin convertirea lor în același numitor, dar această metodă necesită reducerea fiecărei fracții la forma sa minimă.
   • Când o fracție este în forma sa minimă, numărătorul și numitorul ei sunt cât mai mici posibil. Nu le puteți împărți la niciun număr întreg pentru a obține un număr mai mic. Pentru a converti o fracție la forma sa minimă, împărțim numărătorul și numitorul la cel mai mare factor comun.
   • Cel mai mare factor comun al numărătorului și al numitorului este numărul maxim cu care sunt divizibili. Deci, în exemplul 4/8, pentru că 4 este cel mai mare număr cu care ambele 4 și 8 sunt divizibile, vom împărți numărătorul și numitorul acestei fracții la 4 pentru a obține forma simplificată. (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2. Într-un alt exemplu 8/16, GCF este 8, rezultatul este și 1/2.
   publicitate

Metoda 4 din 5: Utilizarea multiplicării încrucișate pentru a rezolva problema variabilelor

1. 

   
   
   Puneți două fracții egale. Folosim multiplicarea încrucișată pentru probleme în care știm că fracțiile sunt echivalente, dar unul dintre numere a fost înlocuit cu variabila (de obicei x) pe care trebuie să o rezolvăm pentru a o găsi. În astfel de cazuri, multiplicarea încrucișată este o metodă rapidă.

2. 

   
   
   Luați două fracții echivalente și încrucișați-le folosind un "X". Cu alte cuvinte, înmulțiți numeratorul unei fracții cu numitorul celeilalte și invers și apoi puneți aceste două rezultate egale și rezolvați problema.
   • Luați două exemple, 4/8 și 8/16. Aceste două fracții nu conțin variabile, dar putem demonstra că sunt echivalente. Prin multiplicarea încrucișată, obținem 4 x 16 = 8 x 8 sau 64 = 64, ceea ce este evident corect. Dacă cele două numere nu sunt aceleași, fracțiile nu sunt echivalente.

3. 

   Introduceți variabilele. Întrucât multiplicarea încrucișată este cel mai simplu mod de a determina fracții echivalente atunci când trebuie să rezolvați problema găsirii variabilelor, adăugați variabile.
   • De exemplu, luați în considerare următoarea ecuație 2 / x = 10/13. Pentru a încrucișa înmulțim, înmulțim 2 cu 13 și 10 cu x, apoi punem aceste două rezultate egale:
     • 2 × 13 = 26
     • 10 × x = 10x
     • 10x = 26. Prin metode algebrice simple putem găsi variabila x = 26/10 = 2.6, atunci primele două fracții echivalente sunt 2 / 2,6 = 10/13.

4. 

   Folosiți multiplicarea încrucișată pentru ecuații cu variabile multiple sau expresii variabile. Unul dintre cele mai tari lucruri despre multiplicarea încrucișată este că, indiferent dacă aveți două fracții simple (ca mai sus) sau fracții mai complexe, soluția este exact aceeași. De exemplu, dacă ambele fracții conțin variabile, pur și simplu eliminați-le la ultima etapă a procesului de rezolvare a problemelor. La fel, dacă numeratorii și numitorii fracțiilor conțin expresii variabile (cum ar fi x + 1), pur și simplu înmulțiți încrucișat și rezolvați așa cum ați face în mod normal.
   • De exemplu, luați în considerare următoarea ecuație ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). Ca mai sus, rezolvăm prin multiplicarea încrucișată a două fracții:
     • (x + 3) × 4 = 4x + 12
     • (x + 1) × 2 = 2x + 2
     • 2x + 2 = 4x + 12, scădeți laturile pentru 2x
     • 2 = 2x + 12, pentru a separa variabila scăzem laturile la 12
     • -10 = 2x și împarte laturile la 2 pentru a găsi x
     • -5 = x
   publicitate

Metoda 5 din 5: Utilizarea soluției quadratice pentru rezolvarea ecuațiilor variabile

1. 

   Înmulțiți două fracții. Pentru problemele de echivalență care necesită utilizarea unor soluții pătratice, începem în continuare prin utilizarea multiplicării încrucișate. Cu toate acestea, orice multiplicare încrucișată implică înmulțirea termenului care conține o variabilă cu termenul care conține o altă variabilă are potențialul de a produce o expresie care nu poate fi ușor rezolvată prin metoda algebrică. În astfel de cazuri, va trebui să utilizați tehnici precum factorizarea și / sau formulele pătratice.
   • De exemplu, luați în considerare următoarea ecuație ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Pasul 1, încrucișăm înmulțim:
     • (x + 1) × (2x - 2) = 2x + 2x -2x - 2 = 2x - 2
     • 4 × 3 = 12
     • 2x - 2 = 12.

2. 

   Exprimați ecuația ca o ecuație pătratică. Acum trebuie să reprezentăm ecuația în formă pătratică (ax + bx + c = 0), unde setăm ecuația la zero. În acest caz, scădem ambele părți cu 12 pentru a obține 2x. - 14 = 0.
   • Unele valori pot fi zero.Deși 2x - 14 = 0 este cea mai simplă formă de ecuație, pătraticul său este de fapt 2x + 0x + (-14) = 0. Ar trebui să ajute la reflectare. Corectați forma unei ecuații pătratice, chiar dacă unele valori sunt 0.

3. 

   Rezolvați o ecuație conectând coeficienții cunoscuți la formula soluției. Formula pătratică (x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a) ne va ajuta să rezolvăm problema găsirii x în acest moment. Nu vă fie teamă pentru că formula pare lungă. Pur și simplu luați valorile din ecuația pătratică din pasul doi și înlocuiți-le în pozițiile lor respective înainte de rezolvare.
   • x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a. În ecuație, 2x - 14 = 0, a = 2, b = 0 și c = -14.
   • x = (-0 +/- √ (0 - 4 (2) (- 14))) / 2 (2)
   • x = (+/- √ (0 - -112)) / 2 (2)
   • x = (+/- √ (112)) / 2 (2)
   • x = (+/- 10.58 / 4)
   • x = +/- 2.64

4. 

   Verificați răspunsurile conectând x înapoi la ecuația pătratică. Înlocuind x-ul găsit înapoi în ecuația pătratică de la pasul doi, puteți determina cu ușurință dacă răspunsul dvs. este adevărat sau fals. În acest exemplu, ați înlocui atât 2,64, cât și -2,64 în ecuația pătratică originală. publicitate

Sfat

• Conversia fracțiilor în fracții de valoare egală este de fapt forma de a le înmulți cu 1. Când convertim 1/2 în 2/4, înmulțim efectiv numărătorul și numitorul cu 2 sau înmulțim. 1/2 cu 2/2, care este egal cu 1.
• Dacă doriți, convertiți numărul mixt într-o fracție neregulată pentru a face conversia mai ușoară. Evident, nu fiecare fracție pe care o întâlniți este la fel de ușor de convertit ca exemplul nostru 4/8 de mai sus. De exemplu, numerele mixte (de exemplu 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 etc.) pot face tranziția puțin mai complicată. Dacă trebuie să convertiți un număr mixt într-o fracție echivalentă, puteți face acest lucru în două moduri: convertiți numărul mixt într-o fracție neregulată, apoi convertiți ca de obicei, sau păstrați numărul mixt și considerați numărul mixt ca răspuns.
  • Pentru a converti o fracție neregulată, înmulțiți partea întreagă a numărului mixt cu numitorul fracției și apoi adăugați-o la numărător. De exemplu, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Apoi, dacă se dorește, puteți converti în fracții echivalente după cum este necesar. De exemplu, 5/3 × 2/2 = 10/6, care este încă egal cu 1 2/3.
  • Cu toate acestea, nu este nevoie să convertim la fracția neregulată ca mai sus. Ignorați partea întreagă, convertiți doar partea fracției, apoi adăugați partea întregului număr înapoi la partea fracției convertite. De exemplu, pentru 3 4/16, ne vom uita doar la 4/16. 4/16 & divide; 4/4 = 1/4. Adăugând partea întreagă înapoi, avem noul număr mixt 3 1/4.

Avertizare

• Înmulțirea și împărțirea sunt utilizate pentru a crea fracții echivalente, deoarece înmulțirea și împărțirea la forma fracțională a numărului 1 (2/2, 3/3 etc.) prin definiție nu are niciun efect asupra valorilor fracționale. original. Adunarea și scăderea nu fac asta.
• Deși înmulțiți numitorul și numitorul atunci când înmulțiți fracțiile, nu puteți adăuga sau scădea numitorul atunci când adăugați sau scădeți fracții.
  • Ca exemplu de mai sus, vedem că 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. Dacă în schimb eu la care se adauga pentru 4/4, răspunsul va fi complet diferit. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 bun 3/2, niciun răspuns nu este egal cu 4/8.