Conţinut

• Pași
• Sfat

Spre deosebire de o linie dreaptă, coeficientul de pantă (panta) se schimbă constant pe măsură ce se deplasează de-a lungul curbei. Analiza oferă ideea că fiecare punct al graficului poate fi exprimat ca un coeficient de unghi sau „o rată de schimbare instantanee”. Linia tangentă la un punct este o linie care are același coeficient unghiular și trece prin același punct. Pentru a găsi o ecuație de linie tangentă, trebuie să știți cum să derivați ecuația originală.

Pași

Metoda 1 din 2: Găsiți ecuația liniei tangente

1. 

   Funcții grafice și linii tangente (acest pas este opțional, dar recomandat). Graficul vă va facilita înțelegerea problemei și puteți verifica dacă răspunsul este rezonabil sau nu. Desenați graficul funcțional pe hârtie de parcela, utilizați calculatorul științific cu funcția grafic pentru referință, dacă este necesar. Desenați o linie tangentă printr-un punct dat (Amintiți-vă că linia tangentă trece prin acel punct și are aceeași pantă ca graficul de acolo).
   • Exemplul 1: Desen parabolic. Desenați o linie tangentă prin punctul (-6, -1).
     Chiar dacă nu cunoașteți ecuația tangentă, puteți vedea totuși că panta sa este negativă și ordonata este negativă (mult sub vârful parabolic cu ordonata de -5,5). Dacă răspunsul final găsit nu se potrivește cu aceste detalii, trebuie să existe o eroare în calculul dvs. și trebuie să verificați din nou.

2. 

   
   
   Obțineți prima derivată pentru a găsi ecuația pantă a liniei tangente. Cu funcția f (x), prima derivată f '(x) reprezintă ecuația pentru panta liniei tangente în orice punct de pe f (x). Există multe modalități de a lua derivate. Iată un exemplu simplu care folosește regula puterii:
   • Exemplul 1 (continuare): Graficul este dat de o funcție.
     Reamintind regula puterii atunci când se ia derivate:.
     Prima derivată a funcției = f '(x) = (2) (0,5) x + 3 - 0.
     f '(x) = x + 3. Înlocuiți x cu orice valoare a, ecuația ne va oferi panta funcției liniei tangente f (x) la punctul x = a.

3. 

   
   
   Introduceți valoarea x a punctului luat în considerare. Citiți problema pentru a găsi coordonatele punctului pentru a găsi linia tangentă. Introduceți coordonata acestui punct în f '(x). Rezultatul obținut este panta liniei tangente în punctul de mai sus.
   • Exemplul 1 (continuare): Punctul menționat în articol este (-6, -1). Folosind tensiunea diagonală -6 în f '(x):
     f '(- 6) = -6 + 3 = -3
     Panta liniei tangente este -3.

4. 

   
   
   Scrieți o ecuație pentru o linie tangentă cu forma unei linii drepte cunoscând coeficientul unghiului și un punct pe acesta. Această ecuație liniară este scrisă ca. Interior, m este panta și este un punct pe linia tangentă. Acum aveți toate informațiile de care aveți nevoie pentru a scrie o ecuație tangentă în acest formular.
   • Exemplul 1 (continuare):
     Panta liniei tangente este -3, deci:
     Linia tangentă trece prin punctul (-6, -1), deci ecuația finală este:
     Pe scurt, putem:
     

5. 

   Confirmare grafică. Dacă aveți un calculator grafic, trasați funcția originală și linia tangentă pentru a verifica dacă răspunsul este corect. Dacă faceți calcule pe hârtie, utilizați grafice desenate mai devreme pentru a vă asigura că nu există erori evidente în răspunsul dvs.
   • Exemplul 1 (continuare): Desenul inițial arată că linia tangentă are coeficienți de unghi negativi și decalajul este cu mult sub -5,5. Ecuația tangentă tocmai găsită este y = -3x -19, ceea ce înseamnă că -3 este panta unghiului și -19 este ordonata.

6. 

   Încercați să rezolvați o problemă mai dificilă. Parcurgem din nou toți pașii de mai sus.În acest moment, scopul este de a găsi linia tangentă a lui x = 2:
   • Găsiți prima derivată folosind regula puterii :. Această funcție ne va oferi panta tangentei.
   • Pentru x = 2, găsiți. Aceasta este panta la x = 2.
   • Rețineți că de data aceasta nu avem un punct și doar coordonata x. Pentru a găsi coordonata y, înlocuiți x = 2 în funcția originală :. Scorul este (2,27).
   • Scrieți o ecuație pentru o linie tangentă care trece printr-un punct și are coeficientul unghiului determinat:
     
     Dacă este necesar, reduceți la y = 25x - 23.
   publicitate

Metoda 2 din 2: Rezolvați problemele conexe

1. 

   Găsiți extrema pe grafic. Acestea sunt punctele la care graficul se apropie de un maxim local (un punct mai mare decât punctele învecinate de ambele părți) sau un minim local (mai mic decât punctele învecinate de ambele părți). Linia tangentă are întotdeauna un coeficient zero în aceste puncte (o linie orizontală). Cu toate acestea, coeficientul unghiului nu este suficient pentru a concluziona că este punctul extrem. Iată cum să le găsiți:
   • Luați prima derivată a funcției pentru a obține f '(x), panta pantei liniei tangente.
   • Rezolvați ecuația f '(x) = 0 pentru a găsi punctul extrem potenţial.
   • Luând derivata pătratică pentru a obține f '(x), ecuația ne spune rata de schimbare a pantei liniei tangente.
   • La fiecare extremă potențială, schimbați coordonatele A în f '' (x). Dacă f '(a) este pozitiv, avem un minim local la A. Dacă f '(a) este negativ, avem un punct maxim local. Dacă f '(a) este 0, nu va fi extrem, este un punct de inflexiune.
   • Dacă max sau min se ating la A, găsiți f (a) pentru a determina intersecția.

2. 

   Găsiți ecuațiile normalului. Linia „normală” a unei curbe la un punct dat a trece prin acel punct și este perpendiculară pe linia tangentă. Pentru a găsi ecuația normalului, utilizați următoarele: (panta normalului) (panta normalului) = -1 atunci când trec același punct pe grafic. Specific:
   • Găsiți f '(x), panta liniei tangente.
   • Dacă la un moment dat, avem x = A: găsiți f '(a) pentru a determina panta în acel punct.
   • Calculați pentru a găsi coeficientul normalului.
   • Scrieți ecuația pentru perpendiculară la cunoașterea coeficienților unghiului și a unui punct prin care trece.
   publicitate

Sfat

• Dacă este necesar, rescrieți ecuația originală în formă standard: f (x) = ... sau y = ...