Cum se calculează viteza instantanee: 11 pași (cu fotografie) - Sfaturi

Video: Fizica clasa a 6-a Lectia: Viteza si viteza medie

Conţinut

Pași
Sfat

Viteza este definită ca viteza unui obiect într-o direcție dată. În multe cazuri, pentru a găsi viteza vom folosi ecuația v = s / t, unde v este viteza, s este distanța totală a deplasării obiectului față de poziția sa inițială și t este timpul necesar obiectului pentru a călători. mergi pana la capat. Cu toate acestea, în teorie, această formulă este doar pentru viteză mediu de lucruri pe drum. Calculând viteza obiectului la un moment dat de-a lungul distanței. Acesta este Timp de transport și este definit de ecuație v = (ds) / (dt), sau cu alte cuvinte, derivata ecuației pentru viteza medie.

Pași

Partea 1 din 3: Calculați viteza instantanee

Începeți cu o ecuație pentru calcularea vitezei după distanța de deplasare. Pentru a găsi viteza instantanee, trebuie mai întâi să avem o ecuație care să indice poziția obiectului (în termeni de deplasare) la un moment dat. Asta înseamnă că ecuația trebuie să aibă o singură variabilă S pe o parte și întoarceți-vă t Pe de altă parte (nu neapărat doar o variabilă), astfel:
s = -1,5t + 10t + 4
- În această ecuație, variabilele sunt:
  s = deplasare. Distanța obiectului mutat de poziția sa inițială. De exemplu, dacă un obiect poate merge 10 metri înainte și 7 metri înapoi, distanța sa totală de deplasare este de 10 - 7 = 3 metri (nu 10 + 7 = 17m).
  t = timp. Această variabilă este simplă, fără explicații, de obicei măsurată în secunde.
Luați derivata ecuației. Derivata ecuației este o altă ecuație care arată panta distanței la un anumit moment. Pentru a găsi derivata ecuației după distanța de deplasare, luați diferențialul funcției conform următoarei reguli generale pentru a calcula derivata: Dacă y = a * x, Derivat = a * n * x. Acest lucru se aplică tuturor termenilor din partea „t” a ecuației.
- Cu alte cuvinte, începeți să obțineți diferențialul de la stânga la dreapta pe partea "t" a ecuației. Ori de câte ori întâlnești variabila „t”, scazi exponentul cu 1 și înmulțești termenul cu exponentul original. Orice termeni constanți (termeni fără „t”) vor dispărea pentru că sunt înmulțiți cu 0. Procesul nu este de fapt atât de dificil pe cât ați putea crede - să luăm ca exemplu ecuația din pasul de mai sus:
  s = -1,5t + 10t + 4
  (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
  -3t + 10t
  -3t + 10
Înlocuiți „s” cu „ds / dt”. Pentru a arăta că noua ecuație este derivata pătratului original, înlocuim „s” cu simbolul „ds / dt”. În teorie, această notație este „derivatul lui s în termeni de t”. Un mod mai simplu de a înțelege această notație, ds / dt este panta oricărui punct din ecuația inițială. De exemplu, pentru a găsi panta distanței descrisă de ecuația s = -1,5t + 10t + 4 la momentul t = 5, înlocuim „5” cu t în derivata ecuației.
- În exemplul de mai sus, derivata ecuației arată astfel:
  ds / dt = -3t + 10
Înlocuiți o valoare pentru t în noua ecuație pentru a găsi viteza instantanee. Acum că avem ecuația derivată, găsirea vitezei instantanee la un moment dat este foarte ușoară. Tot ce trebuie să faceți este să alegeți o valoare t și să o înlocuiți cu ecuația derivată. De exemplu, dacă vrem să găsim viteza instantanee la t = 5, trebuie doar să înlocuim „5” cu t în ecuația derivată ds / dt = -3t + 10. Vom rezolva ecuația astfel:
ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 metri / secundă
- Rețineți că folosim unitatea „metri / secundă” de mai sus.Deoarece rezolvăm problema cu deplasarea în metri și timpul în secunde, iar viteza este deplasarea în timp, această unitate este potrivită.
publicitate

Partea 2 din 3: Estimarea grafică a vitezei instantanee

Graficați distanța de mișcare a obiectului în timp. În secțiunea de mai sus, am spus că derivata este, de asemenea, o formulă care ne permite să găsim panta în orice punct al ecuației luate din derivată. De fapt, dacă afișați distanța de mișcare a obiectului pe un grafic, Panta graficului în orice punct este viteza instantanee a obiectului în acel punct.
- Pentru a grafica distanțele de mișcare, utilizați axa x pentru timp și axa y pentru deplasare. Apoi determinați un număr de puncte conectând valorile lui t în ecuația mișcării, rezultatul este valorile s și punctați punctele t, s (x, y) pe grafic.
- Rețineți că graficul se poate extinde sub axa x. Dacă linia care arată mișcarea obiectului coboară pe axa x, aceasta înseamnă că obiectul se mișcă înapoi din poziția sa inițială. În general, graficul nu se va extinde în spatele axei y - de obicei nu măsurăm viteza obiectelor care se mișcă înapoi în timp!
Selectați un punct P și un punct Q situat lângă punctul P pe grafic. Pentru a găsi panta graficului în punctul P, folosim tehnica „găsirii limitei”. Găsirea unei limite înseamnă luarea a două puncte (P și Q (un punct lângă P)) pe curbă și găsirea pantei liniei care leagă aceste două puncte, repetarea acestui proces pe măsură ce distanța dintre P și Q se scurtează. treptat.
- Să presupunem că distanța de deplasare are punctele (1; 3) și (4; 7). În acest caz, dacă dorim să găsim panta la (1; 3), atunci putem seta (1; 3) = P și (4; 7) = Q.
Găsiți panta dintre P și Q. Panta dintre P și Q este diferența dintre valorile y pentru P și Q față de diferența dintre valorile x pentru P și Q. Cu alte cuvinte, H = (y_Î - da_P) / (X_Î - X_P), unde H este panta dintre două puncte. În acest exemplu, panta dintre P și Q este:
H = (y_Î - da_P) / (X_Î - X_P)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1,33
Repetați de mai multe ori mutând Q mai aproape de P. Scopul este de a restrânge distanța dintre P și Q până când ajung la un singur punct. Cu cât distanța dintre P și Q este mai mică, cu atât panta segmentului infinit de mică va fi mai aproape de panta din punctul P. Repetați de câteva ori pentru exemplul nostru de ecuație, folosind punctele (2; 4 , 8), (1,5; 3,95) și (1,25; 3,49) dau Q, iar coordonatele inițiale ale lui P sunt (1; 3):
Q = (2; 4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
H = (1,8) / (1) = 1,8

Q = (1,5; 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
H = (0,95) / (0,5) = 1,9

Q = (1,25; 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
H = (0,49) / (0,25) = 1,96
Estimează panta segmentului extrem de mic pe curba graficului. Pe măsură ce Q se apropie din ce în ce mai mult de P, H se va apropia treptat de panta la P. În cele din urmă, la o linie foarte mică, H va fi panta la P. Deoarece nu putem măsura sau calcula Lungimea unei linii este extrem de mică, deci estimați panta doar la P atunci când este clar vizibilă din punctele pe care le calculăm.
- În exemplul de mai sus, pe măsură ce apropiem H de P, avem valorile pentru H de 1,8; 1.9 și 1.96. Deoarece aceste numere se apropie de 2 putem spune 2 este valoarea aproximativă a pantei la P.
- Amintiți-vă că panta în orice punct al graficului este derivata ecuației graficului în acel punct. Deoarece graficul reprezintă deplasarea unui obiect în timp, așa cum am văzut în secțiunea anterioară, viteza sa instantanee în orice punct este derivata distanței de deplasare a obiectului în punctul problemei. Accesul, putem spune 2 metri / sec este o estimare aproximativă a vitezei instantanee când t = 1.
publicitate

Partea 3 din 3: Exemplu de problemă

Găsiți viteza instantanee când t = 1 cu ecuația de deplasare s = 5t - 3t + 2t + 9. La fel ca exemplul din prima secțiune, dar acesta este un cub în loc de pătratic, deci putem rezolva problema în același mod.
- În primul rând, luați derivata ecuației:
  s = 5t - 3t + 2t + 9
  s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
  15t - 6t + 2t - 6t + 2
- Apoi înlocuim valoarea lui t (4) în:
  s = 15t - 6t + 2
  15(4) - 6(4) + 2
  15(16) - 6(4) + 2
  240 - 24 + 2 = 22 de metri pe secundă
Utilizați metoda de estimare a graficului pentru a găsi viteza instantanee la (1; 3) pentru ecuația de deplasare s = 4t - t. Pentru această problemă, folosim coordonatele (1; 3) ca punct P, dar trebuie să găsim alte puncte Q situate în apropierea acestuia. Apoi, tot ce trebuie să facem este să găsim valorile H și să deducem valoarea estimată.
- În primul rând, găsim puncte Q când t = 2; 1,5; 1.1 și 1.01.
  s = 4t - t
  
  t = 2: s = 4 (2) - (2)
  4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, deci Q = (2; 14)
  
  t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
  4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, deci Q = (1,5; 7,5)
  
  t = 1.1: s = 4 (1.1) - (1.1)
  4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, deci Q = (1,1; 3,74)
  
  t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
  4 (1.0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, deci asta este Q = (1,01; 3,0704)
- În continuare vom obține valori H:
  Q = (2; 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
  H = (11) / (1) = 11
  
  Q = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
  H = (4,5) / (0,5) = 9
  
  Q = (1,1; 3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
  H = (0,74) / (0,1) = 7,3
  
  Q = (1,01; 3,0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
  H = (0,0704) / (0,01) = 7,04
- Deoarece valorile H par a fi mai apropiate de 7, putem spune asta 7 metri pe secundă este estimarea aproximativă a vitezei instantanee la coordonată (1; 3).
publicitate

Sfat

Pentru a găsi accelerația (schimbarea vitezei în timp), utilizați metoda din prima parte pentru a obține derivata ecuației deplasării. Apoi luați derivata din nou pentru ecuația derivată pe care tocmai ați găsit-o. Rezultatul este că aveți o ecuație pentru accelerație la un moment dat în timp - tot ce trebuie să faceți este să conectați timpul.
Ecuația care arată relația dintre Y (distanța de deplasare) și X (timpul) poate fi foarte simplă, deoarece Y = 6x + 3. În acest caz, panta este constantă și nu este necesar să luați derivata pentru calcularea pantei, adică urmează forma ecuației de bază Y = mx + b pentru un grafic liniar, adică panta este egală cu 6.
Distanța de deplasare este ca distanța, dar are o direcție, deci este o mărime vectorială, iar viteza este o mărime scalară. Distanțele de deplasare pot fi negative, în timp ce distanțele pot fi doar pozitive.