Cum se împarte matricele

Video: Yemin 238. Bölüm | The Promise Season 2 Episode 238

Conţinut

Rezumat scurt
Pași
Partea 1 din 3: Testarea divizibilității matricelor
Partea 2 din 3: Găsirea Matricei Inverse
Partea 3 din 3: Înmulțirea matricei
sfaturi
Avertizări
Articole suplimentare

Dacă știți cum să multiplicați două matrice, puteți începe să „împărțiți” matricile. Cuvântul „diviziune” este inclus între ghilimele, deoarece matricile nu pot fi de fapt împărțite. Operația de divizare este înlocuită de operația de multiplicare a unei matrice cu o matrice care este inversa celei de-a doua matrice. Pentru simplitate, luați în considerare un exemplu cu numere întregi: 10 ÷ 5. Găsiți reciprocul de 5: 5 sau /₅, și apoi înlocuiți împărțirea cu înmulțirea: 10 x 5; rezultatul împărțirii și înmulțirii va fi același. Prin urmare, se crede că diviziunea poate fi înlocuită cu înmulțirea cu matricea inversă. De obicei, astfel de calcule sunt utilizate pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.

Rezumat scurt

Nu puteți împărți matricele. În loc să se împartă, o matrice este înmulțită cu inversul celei de-a doua matrice. „Divizarea” a două matrice [A] ÷ [B] se scrie după cum urmează: [A] * [B] sau [B] * [A].
Dacă matricea [B] nu este pătrată sau dacă determinantul său este 0, scrieți „nicio soluție fără ambiguități”. În caz contrar, găsiți determinantul matricei [B] și treceți la pasul următor.
Găsiți inversul: [B].
Înmulțiți matricile pentru a găsi [A] * [B] sau [B] * [A]. Rețineți că ordinea în care sunt multiplicate matricele afectează rezultatul final (adică rezultatele pot varia).

Pași

Partea 1 din 3: Testarea divizibilității matricelor

1 Înțelegeți „diviziunea” matricilor. De fapt, matricile nu pot fi împărțite. Nu există o astfel de operație matematică ca „împărțirea unei matrice la alta”. Împărțirea este înlocuită prin înmulțirea unei matrice cu inversul celei de-a doua matrice. Adică notația [A] ÷ [B] nu este corectă, deci este înlocuită cu următoarea notație: [A] * [B]. Deoarece ambele intrări sunt echivalente în cazul valorilor scalare, teoretic putem vorbi despre „divizarea” matricilor, dar este totuși mai bine să folosim terminologia corectă.
- Rețineți că [A] * [B] și [B] * [A] sunt operații diferite. Poate fi necesar să efectuați ambele operațiuni pentru a găsi toate soluțiile posibile.
- De exemplu, în loc de ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ scrie ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Poate că va trebui să calculați ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ pentru a obține un rezultat diferit.
2 Asigurați-vă că matricea prin care „împărțiți” cealaltă matrice este pătrată. Pentru a inversa o matrice (găsiți inversul unei matrice), aceasta trebuie să fie pătrată, adică cu același număr de rânduri și coloane. Dacă matricea inversată nu este inversă, nu există o soluție definită.
- Din nou, matricile nu sunt „divizibile” aici. În operațiunea [A] * [B], condiția descrisă se referă la matricea [B]. În exemplul nostru, această condiție se referă la matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- O matrice care poate fi inversată se numește nedegenerată sau regulată. O matrice care nu poate fi inversată se numește degenerată sau singulară.
3 Verificați dacă cele două matrice pot fi multiplicate. Pentru a înmulți două matrice, numărul de coloane din prima matrice trebuie să fie egal cu numărul de rânduri din a doua matrice. Dacă această condiție nu este îndeplinită în intrarea [A] * [B] sau [B] * [A], nu există nicio soluție.
- De exemplu, dacă dimensiunea matricei [A] este 4 x 3 și dimensiunea matricei [B] este 2 x 2, nu există nicio soluție. Nu puteți înmulți [A] * [B] deoarece 4 ≠ 2 și nu puteți înmulți [B] * [A] pentru că 2 ≠ 3.
- Rețineți că matricea inversă [B] are întotdeauna același număr de rânduri și coloane ca matricea originală [B]. Nu este necesar să găsiți matricea inversă pentru a verifica dacă două matrice pot fi multiplicate.
- În exemplul nostru, dimensiunea ambelor matrice este de 2 x 2, deci pot fi înmulțite în orice ordine.
4 Găsiți determinantul matricei 2 × 2. Amintiți-vă: puteți inversa o matrice numai dacă determinantul său nu este zero (în caz contrar, nu puteți inversa matricea). Iată cum se găsește determinantul unei matrice 2 x 2:
- Matricea 2 x 2: determinant al unei matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ este egal cu ad - bc. Adică, din produsul elementelor diagonalei principale (trece prin colțurile din stânga sus și din dreapta jos), scădeți produsele elementelor celeilalte diagonale (trece prin colțurile din dreapta sus și din stânga jos).
- De exemplu, determinantul matricei ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ este egal cu (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Determinantul este diferit de zero, deci această matrice poate fi inversată.
5 Găsiți determinantul matricei mai mari. Dacă dimensiunea matricei este de 3 x 3 sau mai mult, determinantul este puțin mai dificil de calculat.
- 3 x 3 matrice: selectați orice element și tăiați rândul și coloana în care se află.Găsiți determinantul matricii 2 × 2 rezultate, apoi multiplicați-l cu elementul selectat; specificați semnul determinantului într-un tabel special. Repetați acest proces pentru celelalte două elemente care se află în același rând sau coloană ca elementul pe care l-ați selectat. Apoi găsiți suma (trei) determinanți primiți. Citiți acest articol pentru mai multe informații despre cum să găsiți determinantul unei matrice 3 x 3.
- Matrici mari: determinantul acestor matrici este cel mai bine căutat cu un calculator grafic sau un software. Metoda este similară cu metoda de găsire a determinantului unei matrice 3 × 3, dar este destul de plictisitor să o aplicați manual. De exemplu, pentru a găsi determinantul unei matrice 4 x 4, trebuie să găsiți determinanții a patru matrice 3 x 3.
6 Continuați calculele. Dacă matricea nu este pătrată sau dacă determinantul său este egal cu zero, scrieți „nicio soluție fără echivoc”, adică procesul de calcul este finalizat. Dacă matricea este pătrată și are un determinant diferit de zero, treceți la secțiunea următoare.

Partea 2 din 3: Găsirea Matricei Inverse

1 Schimbați elementele diagonalei principale a matricei 2 x 2. Având o matrice 2 × 2, utilizați metoda inversă rapidă. Mai întâi, schimbați elementul din stânga sus și elementul din dreapta jos. De exemplu:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Notă: majoritatea oamenilor folosesc calculatoare pentru a inversa o matrice de 3 x 3 (sau mai mare). Dacă trebuie să faceți acest lucru manual, mergeți la sfârșitul acestei secțiuni.
2 Nu schimbați cele două elemente rămase, ci schimbați-le semnul. Adică, înmulțiți elementul din dreapta sus și elementul din stânga jos cu -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Găsiți reciprocul determinantului. Determinantul acestei matrice a fost găsit în secțiunea anterioară, deci nu o vom calcula din nou. Inversul determinantului este scris după cum urmează: 1 / (determinant):
- În exemplul nostru, determinantul este 13. Valoarea inversă: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Înmulțiți matricea rezultată cu reciprocul determinantului. Înmulțiți fiecare element al noii matrice cu inversul determinantului. Matricea finală va fi inversa matricei originale 2 x 2:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} și { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Verificați dacă calculele sunt corecte. Pentru a face acest lucru, înmulțiți matricea originală cu inversul acesteia. Dacă calculele sunt corecte, produsul matricei originale de către invers va da matricea identității: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Dacă testul a avut succes, continuați cu secțiunea următoare.
- În exemplul nostru: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- Pentru mai multe informații despre cum să multiplicați matricile, citiți acest articol.
- Notă: operația de multiplicare a matricii nu este comutativă, adică este importantă ordinea matricilor. Dar atunci când matricea originală este înmulțită cu inversul ei, orice ordine duce la matricea identității.
6 Găsiți inversul unei matrice 3 x 3 (sau mai mare). Dacă sunteți deja familiarizat cu acest proces, este mai bine să utilizați un calculator grafic sau un software special. Dacă trebuie să găsiți manual matricea inversă, procesul este descris pe scurt mai jos:
- Alăturați-vă matricei de identitate I din partea dreaptă a matricei originale. De exemplu, [B] → [B | Eu]. Pentru matricea de identitate, toate elementele diagonalei principale sunt egale cu 1, iar toate celelalte elemente sunt egale cu 0.
- Simplificați matricea astfel încât partea stângă să devină treptată; continuați să simplificați, astfel încât partea stângă să devină matricea identității.
- După simplificare, matricea va lua următoarea formă: [I | B]. Adică partea dreaptă a acesteia este inversa matricei originale.

Partea 3 din 3: Înmulțirea matricei

1 Notați două expresii posibile. Operația de înmulțire a doi scalari este comutativă, adică 2 x 6 = 6 x 2.Acest lucru nu este cazul în cazul multiplicării matricei, deci este posibil să trebuiască să rezolvați două expresii:
- X = [A] * [B] este soluția la ecuație X[B] = [A].
- X = [B] * [A] este soluția la ecuația [B]X = [A].
- Efectuați fiecare operație matematică pe ambele părți ale ecuației. Dacă [A] = [C] atunci [B] [A] ≠ [C] [B] deoarece [B] este în stânga lui [A], dar în dreapta lui [C].
2 Determinați dimensiunea matricei finale. Mărimea matricei finale depinde de mărimea matricilor multiplicate. Numărul de rânduri din matricea finală este egal cu numărul de rânduri din prima matrice, iar numărul de coloane din matricea finală este egal cu numărul de coloane din a doua matrice.
- În exemplul nostru, dimensiunea ambelor matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ și ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} și { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ este 2 x 2, deci dimensiunea matricei originale va fi 2 x 2.
- Luați în considerare un exemplu mai complex: dacă dimensiunea matricei [A] este 4 x 3, iar dimensiunea matricei [B] este de 3 x 3, atunci matricea finală [A] * [B] va fi 4 x 3.
3 Găsiți valoarea primului element. Citiți acest articol sau rețineți următorii pași de bază:
- Pentru a găsi primul element (primul rând, prima coloană) din matricea finală [A] [B], calculați produsul punct al elementelor din primul rând al matricei [A] și elementele primei coloane a matricei [B] ]. În cazul unei matrice 2 x 2, produsul punct este calculat după cum urmează: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- În exemplul nostru: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} și { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} și { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Astfel, primul element al matricei finale va fi elementul:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Continuați să calculați produsele punct pentru a găsi fiecare element al matricei finale. De exemplu, elementul situat în al doilea rând și prima coloană este egal cu produsul punct al celui de-al doilea rând al matricei [A] și prima coloană a matricei [B]. Încercați să găsiți singur elementele rămase. Ar trebui să obțineți următoarele rezultate:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} și { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- Dacă trebuie să găsiți o altă soluție: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} și { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 sfârșit {pmatrix}}}$

sfaturi

Matricea poate fi împărțită într-un scalar; pentru aceasta, fiecare element al matricei este împărțit la un scalar.
- De exemplu, dacă matricea ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ împărțit la 2, obțineți matricea ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Avertizări

Calculatorul nu oferă întotdeauna rezultate absolut precise atunci când vine vorba de calcule matriciale. De exemplu, dacă calculatorul susține că elementul este un număr foarte mic (cum ar fi 2E), valoarea este cel mai probabil zero.