Conţinut

• Pași
• sfaturi

Funcția rațională are forma y = N (x) / D (x), unde N și D sunt polinoame. Pentru a trasa cu exactitate o astfel de funcție, aveți nevoie de o bună cunoaștere a algebrei, inclusiv a calculelor diferențiale. Luați în considerare următorul exemplu: y = (2X - 6X + 5)/(4X + 2).

Pași

1. 1 Găsiți interceptarea y a graficului. Pentru a face acest lucru, înlocuiți x = 0 în funcție și obțineți y = 5/2. Astfel, punctul de intersecție al graficului cu axa Y are coordonate (0, 5/2).Așezați acest punct pe planul de coordonate.
2. 2 Găsiți asimptotele orizontale. Împărțiți numeratorul la numitor (într-o coloană) pentru a determina comportamentul lui „y” cu valorile „x” care tind spre infinit. În exemplul nostru, diviziunea va fi y = (1/2)X - (7/4) + 17/(8X + 4). Pentru valori pozitive sau negative mari de „x” 17 / (8X + 4) tinde la zero, iar graficul se apropie de linia dreaptă dată de funcție y = (1/2)X - (7/4). Folosind linia punctată, trasați această funcție.
   • Dacă gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului, atunci nu puteți împărți numărătorul la numitor și asimptota va fi descrisă de funcția la = 0.
   • Dacă gradul numărătorului este egal cu gradul numitorului, atunci asimptota este o linie orizontală egală cu raportul coeficienților la „x” în cel mai înalt grad.
   • Dacă gradul numărătorului este cu 1 mai mult decât gradul numitorului, atunci asimptota este o linie dreaptă înclinată, a cărei pantă este egală cu raportul coeficienților la „x” la cel mai înalt grad.
   • Dacă gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului cu 2, 3 etc., atunci pentru valori mari |NS| sens la tind spre infinit (pozitiv sau negativ) sub forma unui pătrat, cub sau alt grad de polinom. În acest caz, cel mai probabil, nu este nevoie să construiți un grafic exact al funcției obținute prin împărțirea numărătorului la numitor.
3. 3 Găsiți zerourile funcției. O funcție rațională are zerouri atunci când numeratorul său este zero, adică N (NS) = 0. În exemplul nostru, 2X - 6X + 5 = 0. Discriminantul acestei ecuații pătratice: b - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Deoarece discriminantul este negativ, atunci N (NS) și, prin urmare, F (NS) nu are rădăcini reale. Graficul unei funcții raționale nu intersectează axa X. Dacă funcția are zerouri (rădăcini), atunci puneți-le pe planul de coordonate.
4. 4 Găsiți asimptotele verticale. Pentru a face acest lucru, setați numitorul la zero. În exemplul nostru, 4X + 2 = 0 și NS = -1/2. Trageți asimptota verticală folosind linia punctată. Dacă pentru o anumită valoare NS N (NS) = 0 și D (NS) = 0, atunci asimptota verticală fie există, fie nu există (acesta este un caz rar, dar este mai bine să-l amintim).
5. 5 Uită-te la restul numărătorului împărțit la numitor. Este pozitiv, negativ sau zero? În exemplul nostru, restul este 17, ceea ce este pozitiv. Denumitorul 4X + 2 pozitive la dreapta asimptotei verticale și negative la stânga acesteia. Aceasta înseamnă că graficul funcției raționale pentru valori pozitive mari NS abordează asimptota de sus și pentru valori negative mari NS - de desubt. Din 17 / (8X + 4) nu este niciodată egal cu zero, atunci graficul acestei funcții nu va intersecta niciodată linia dreaptă specificată de funcție la = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 Găsiți extreme locale. Există un extremum local pentru N '(X) D (X) - N (X) D ’(X) = 0. În exemplul nostru, N ’(X) = 4X - 6 și D '(X) = 4. N ’(X) D (X) - N (X) D ’(X) = (4X - 6)(4X + 2) - (2X - 6X + 5)*4 = X + X - 4 = 0. Rezolvând această ecuație, descoperiți că X = 3/2 și X = -5/2. (Acestea nu sunt valori complet exacte, dar sunt potrivite pentru cazul nostru atunci când nu este necesară superprecizia.)
7. 7 Găsiți valoarea la pentru fiecare extremum local. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile NS în funcția rațională originală. În exemplul nostru, f (3/2) = 1/16 și f (-5/2) = -65/16. Puneți deoparte punctele (3/2, 1/16) și (-5/2, -65/16) pe planul de coordonate. Deoarece calculele se bazează pe valori aproximative (din pasul anterior), minimul și maximul găsite nu sunt nici pe deplin exacte (dar probabil foarte aproape de valorile exacte). (Punctul (3/2, 1/16) este foarte aproape de minimul local. Începând de la pasul 3, știm asta la întotdeauna pozitiv pentru NS> -1/2 și am găsit o valoare mică (1/16); astfel, valoarea erorii este extrem de mică în acest caz.)
8. 8 Conectați punctele în așteptare și extindeți ușor graficul către asimptote (nu uitați de direcția corectă a graficului care se apropie de asimptote). Amintiți-vă că graficul nu trebuie să traverseze axa X (a se vedea pasul 3). De asemenea, graficul nu se intersectează cu asimptotele orizontale și verticale (vezi pasul 5). Nu modificați direcția graficului decât în ​​punctele extreme găsite în pasul anterior.

sfaturi

• Dacă ați urmat pașii de mai sus strict în ordine, atunci nu este nevoie să calculați al doilea derivat (sau cantități complexe similare) pentru a testa soluția.
• Dacă nu trebuie să calculați valorile cantităților, puteți înlocui găsirea extrema locală prin calcularea unor perechi suplimentare de coordonate (NS, la) între fiecare pereche de asimptote. Mai mult, dacă nu vă pasă cum funcționează metoda descrisă, atunci nu vă mirați de ce nu puteți găsi derivata și rezolva ecuația N '(X) D (X) - N (X) D ’(X) = 0.
• În unele cazuri, va trebui să lucrați cu polinoame de ordin superior. Dacă nu puteți găsi soluția exactă folosind factorizarea, formule etc., atunci estimați soluțiile posibile folosind metode numerice, cum ar fi metoda lui Newton.
• În cazuri rare, numărătorul și numitorul împărtășesc un factor variabil comun. Conform etapelor descrise, acest lucru va duce la zero și la o asimptotă verticală în același loc. Cu toate acestea, acest lucru nu este posibil, iar explicația este una dintre următoarele:
  • Zero în N (NS) are o multiplicitate mai mare decât zero în D (NS). Graficul F (NS) tinde la zero în acest moment, dar nu este definit acolo. Indicați acest lucru trasând un cerc în jurul punctului.
  • Zero în N (NS) și zero în D (NS) au aceeași multiplicitate. Graficul abordează un punct diferit de zero la această valoare NSdar nedefinit acolo. Indicați acest lucru trasând un cerc în jurul punctului.
  • Zero în N (NS) are o multiplicitate mai mică decât zero în D (NS). Aici există o asimptotă verticală.