Cum să factorizezi un număr într-un produs de factori primi

Video: Curs 6 Algebra II: module indecompozabile, teoria corpurilor

Conţinut

Pași
Partea 1 din 2: Găsirea factorilor primi
Partea 2 din 2: Utilizarea factorilor primi
Exemple de sarcini
sfaturi
Avertizări

Orice număr natural poate fi descompus în produsul factorilor primi. Dacă nu vă place să vă ocupați de numere mari precum 5733, aflați cum să le luați în calcul (în acest caz, 3 x 3 x 7 x 7 x 13). O sarcină similară este adesea întâlnită în criptografie, care se ocupă de probleme de securitate a informațiilor. Dacă nu sunteți încă gata să vă construiți propriul sistem de e-mail securizat, aflați mai întâi cum să luați în calcul numerele.

Pași

Partea 1 din 2: Găsirea factorilor primi

1 Aflați ce este Factoring. Descompunerea unui număr în produsul factorilor este procesul de „împărțire” a acestuia în părți mai mici.Când sunt multiplicate, aceste părți sau factori dau numărul original.
- De exemplu, numărul 18 poate fi descompus în următoarele produse: 1 x 18, 2 x 9 sau 3 x 6.
2 Amintiți-vă ce sunt numerele prime. Un număr prim este divizibil doar cu două numere fără rest: de la sine și de 1. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca un produs de 5 și 1. Acest număr nu poate fi descompus în alți factori. Scopul factorizării unui număr în factori primi este reprezentarea acestuia ca produs al numerelor prime. Acest lucru este util mai ales atunci când aveți de-a face cu fracțiile, deoarece vă permite să le comparați și să le simplificați.
3 Începeți cu numărul original. Alegeți un număr compus mai mare de 3. Nu are sens să luați un număr prim, deoarece este divizibil numai prin el însuși și unul.
- Exemplu: Să descompunem numărul 24 în produsul numerelor prime.
4 Să împărțim acest număr în produsul a doi factori. Găsiți două numere mai mici al căror produs este egal cu numărul original. Se poate utiliza orice factor, dar este mai ușor să luați numere prime. O modalitate bună este să încercați să împărțiți numărul original mai întâi la 2, apoi la 3, apoi la 5 și să verificați care dintre aceste prime le împarte fără rest.
- Exemplu: Dacă nu cunoașteți factorii pentru 24, încercați să îl împărțiți cu numere prime mici. Deci veți găsi că numărul dat este divizibil cu 2: 24 = 2 x 12... Acesta este un început bun.
- Deoarece 2 este un număr prim, este bine să-l folosiți atunci când se iau în calcul numerele pare.
5 Începeți să construiți arborele multiplicator. Această procedură simplă vă va ajuta să luați în calcul un număr. Pentru început, trageți două „ramuri” în jos de la numărul original. La sfârșitul fiecărei ramuri, scrieți factorii găsiți.
- Exemplu:
- 24
- /
- 2 12
6 Luați în calcul următorul rând de numere. Uitați-vă la cele două numere noi (al doilea rând al arborelui multiplicator). Sunt amândouă numere prime? Dacă unul dintre ei nu este simplu, luați-l în calcul și cu doi factori. Faceți încă două ramuri și scrieți doi factori noi în a treia linie a copacului.
- Exemplu: 12 nu este un număr prim, deci ar trebui factorizat. Folosiți descompunerea 12 = 2 x 6 și scrieți-o în a treia linie a arborelui:
- 24
- /
- 2 12
- /
- 2 x 6
7 Continuați în jos în copac. Dacă unul dintre noii factori se dovedește a fi un număr prim, trageți o „ramură” din acesta și scrieți același număr la sfârșitul acestuia. Numerele prime nu pot fi extinse în factori mai mici, așa că trebuie doar să le mutați în jos.
- Exemplu: 2 este prim. Mutați doar 2 de la a doua la a treia linie:
- 24
- /
- 2 12
- / /
- 2 2 6
8 Continuați să luați în calcul numerele până când rămâneți doar numere prime. Verificați fiecare linie nouă a copacului. Dacă cel puțin unul dintre noii factori nu este un număr prim, factorizați-l și scrieți o nouă linie. La final, veți rămâne doar cu numere prime.
- Exemplu: 6 nu este un număr prim, deci ar trebui factorizat și el. În același timp, 2 este un număr prim și îi ducem pe cei doi la nivelul următor:
- 24
- /
- 2 12
- / /
- 2 2 6
- / / /
- 2 2 2 3
9 Scrieți ultimul rând ca produs al factorilor primi. La final, veți rămâne doar cu numere prime. Când se întâmplă acest lucru, factorizarea primă este completă. Ultima linie este un set de numere prime, al căror produs dă numărul original.
- Verificați răspunsul: înmulțiți numerele de pe ultima linie. Rezultatul ar trebui să fie numărul original.
- Exemplu: Ultimul rând al arborelui factorilor conține numerele 2 și 3. Ambele numere sunt prime, deci descompunerea este completă. Astfel, factorizarea primă a lui 24 are următoarea formă: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
- Ordinea factorilor nu contează. Descompunerea poate fi scrisă și ca 2 x 3 x 2 x 2.
10 Simplificați-vă răspunsul utilizând notația exponențială, dacă doriți. Dacă sunteți familiarizat cu exponențierea numerelor, puteți scrie răspunsul într-o formă mai simplă.Amintiți-vă că baza este scrisă în partea de jos, iar numărul indicativului indică de câte ori această bază trebuie înmulțită cu ea însăși.
- Exemplu: de câte ori apare numărul 2 în descompunerea găsită 2 x 2 x 2 x 3? De trei ori, astfel încât expresia 2 x 2 x 2 poate fi scrisă ca 2. În notație simplificată, obținem 2 x 3.

Partea 2 din 2: Utilizarea factorilor primi

1 Găsiți cel mai mare divizor comun al a două numere. Cel mai mare divizor comun (GCD) dintre două numere este numărul maxim cu care ambele numere sunt divizibile fără rest. Exemplul de mai jos arată cum să utilizați factorizarea primă pentru a găsi cel mai mare divizor comun al lui 30 și 36.
- Să factorizăm ambele numere în factori primi. Pentru 30, factorizarea este 2 x 3 x 5. Numărul 36 este descompus în factori primi după cum urmează: 2 x 2 x 3 x 3.
- Să găsim numărul care apare în ambele expansiuni. Să tăiem acest număr în ambele liste și să-l scriem pe o nouă linie. De exemplu, 2 apare în două expansiuni, așa că scriem 2 pe o nouă linie. După aceea, avem 30 = 2 x 3 x 5 și 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
- Repetați acest pas până când nu rămân factori comuni în expansiuni. Ambele liste includ și numărul 3, deci pe o nouă linie puteți scrie 2 și 3... Apoi comparați din nou expansiunile: 30 = ~~2 x 3~~ x 5 și 36 = 2 x 2 x 3 x 3. După cum puteți vedea, nu rămân în ele factori comuni.
- Pentru a găsi cel mai mare factor comun, găsiți produsul tuturor factorilor comuni. În exemplul nostru, acestea sunt 2 și 3, deci mcd este 2 x 3 = 6... Acesta este cel mai mare număr care împarte în mod egal numerele 30 și 36.
2 Cu ajutorul GCD, puteți simplifica fracțiile. Dacă bănuiți că o fracție poate fi anulată, utilizați cel mai mare factor comun. Găsiți GCD al numărătorului și numitorului folosind procedura de mai sus. Apoi împărțiți numărătorul și numitorul fracției la numărul respectiv. Ca urmare, obțineți aceeași fracție într-o formă mai simplă.
- De exemplu, să simplificăm fracția /₃₆... După cum am spus mai sus, pentru 30 și 36, GCD este 6, deci împărțim numărătorul și numitorul la 6:
- 30 ÷ 6 = 5
- 36 ÷ 6 = 6
- /₃₆ = /₆
3 Găsiți cel mai mic multiplu comun din două numere. Cel mai mic multiplu comun (MCM) a două numere este cel mai mic număr care este divizibil în mod egal cu ambele numere. De exemplu, LCM de 2 și 3 este 6 deoarece este cel mai mic număr care poate fi divizibil cu 2 și 3. Mai jos este un exemplu de găsire a LCM folosind factorizarea primă:
- Să începem cu două factorizări prime. De exemplu, pentru 126, factorizarea poate fi scrisă ca 2 x 3 x 3 x 7. Numărul 84 poate fi descompus în factori primi ca 2 x 2 x 3 x 7.
- Să comparăm de câte ori apare fiecare factor în expansiuni. Selectați lista în care apare multiplicatorul de numărul maxim de ori și înconjurați acest loc. De exemplu, numărul 2 apare o dată în extindere pentru 126 și de două ori în listă pentru 84, deci ar trebui să cercuiți 2 x 2 în a doua listă de factori.
- Repetați acest pas pentru fiecare multiplicator. De exemplu, 3 este mai frecvent în prima expansiune, deci ar trebui să cercuiți în ea 3 x 3... Numărul 7 apare o dată în ambele liste, așa că încercuim 7 (nu contează în ce listă, dacă factorul dat apare în ambele liste de același număr de ori).
- Pentru a găsi LCM, înmulțiți toate numerele încercuite. În exemplul nostru, cel mai mic multiplu comun de 126 și 84 este 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252... Acesta este cel mai mic număr care este divizibil cu 126 și 84 fără rest.
4 Utilizați LCM pentru a adăuga fracții. Când adăugați două fracții, este necesar să le aduceți la un numitor comun. Pentru a face acest lucru, găsiți LCM-ul celor doi numitori. Apoi înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu un astfel de număr încât numitorii fracțiilor să fie egali cu LCM. După aceea, puteți adăuga fracțiile.
- De exemplu, trebuie să găsiți suma /₆ + /₂₁.
- Folosind metoda de mai sus, puteți găsi LCM pentru 6 și 21. Este 42.
- Transformăm fracția /₆ astfel încât numitorul său este 42. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți 42 la 6: 42 ÷ 6 = 7. Acum înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu 7: /₆ X /₇ = /₄₂.
- Pentru a aduce a doua fracție la numitorul 42, împarte 42 la 21: 42 ÷ 21 = 2. Înmulțește numărătorul și numitorul fracției cu 2: /₂₁ X /₂ = /₄₂.
- După ce fracțiile sunt reduse la același numitor, ele pot fi ușor adăugate: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

Exemple de sarcini

Încercați să rezolvați problemele de mai jos.Dacă credeți că ați primit răspunsul corect, evidențiați cu mouse-ul locul după două puncte în enunțul problemei. Sarcinile din urmă sunt cele mai dificile.
Găsiți factorizarea primă pentru 16: 2 x 2 x 2 x 2
Scrieți răspunsul în formă exponențială: 2
Găsiți descompunerea în factori primi a 45: 3 x 3 x 5
Scrieți răspunsul în formă exponențială: 3 x 5
Găsiți descompunerea în factori primi pentru 34: 2 x 17
Găsiți descompunerea în factori primi a 154: 2 x 7 x 11
Găsiți descompunerea în factori primi pentru 8 și 40, apoi determinați cel mai mare factor comun al lor: descompunerea în factori primi a 8 este 2 x 2 x 2 x 2; descompunerea în factori primi a 40 este 2 x 2 x 2 x 5; MCD de două numere 2 x 2 x 2 = 6.
Găsiți descompunerea în factori primi pentru 18 și 52 și găsiți cel mai mic multiplu comun al lor: Descompunerea în factori primi a 18 este 2 x 3 x 3; descompunerea în factori primi a 52 este 2 x 2 x 13; LCM-ul a două numere este 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

sfaturi

Fiecare număr are o caracteristică unică de factorizare a acestuia. Nu contează cum găsiți această expansiune, ar trebui să ajungeți la același răspuns. Aceasta se numește teorema de bază a aritmeticii.
În loc să rescrieți numerele prime pe o nouă linie a arborelui factorilor de fiecare dată, le puteți lăsa la loc și pur și simplu le înconjoară. La sfârșitul expansiunii, acesta va include toți factorii primi înconjurați.
Verificați întotdeauna răspunsul pe care îl primiți. Poți să faci o greșeală și să nu o observi.
Pregătește-te pentru misiuni dificile. Dacă vi se cere să găsiți o descompunere în factori primi a unui număr prim, nu este necesar să faceți calcule. De exemplu, pentru numărul 17, descompunerea în factori primi este 17; acest număr nu poate fi descompus în alți factori primi.
Cel mai mare factor comun și cel mai mic multiplu comun poate fi găsit pentru trei sau mai multe numere.