Conţinut

• Pași
• Partea 1 din 3: Înțelegerea pătratelor numerelor și a rădăcinilor pătrate
• Partea 2 din 3: Utilizarea algoritmului Diviziei lungi
• Partea 3 din 3: Numărarea rapidă a pătratelor incomplete
• sfaturi

În timp ce aspectul intimidant al simbolului rădăcină pătrată poate face pe cineva care nu se pricepe la matematică să se îndoaie, problemele rădăcinii pătrate nu sunt atât de dificile pe cât ar putea părea inițial. Problemele simple de rădăcină pătrată pot fi adesea rezolvate la fel de ușor ca problemele obișnuite de multiplicare sau divizare. Pe de altă parte, sarcinile mai complexe pot necesita un efort, dar cu abordarea corectă, chiar și ele nu vor fi dificile pentru dvs. Începeți rezolvarea rădăcinilor astăzi pentru a învăța această abilitate matematică radical nouă!

Pași

Partea 1 din 3: Înțelegerea pătratelor numerelor și a rădăcinilor pătrate

1. 1 Păstrați numărul înmulțindu-l singur. Pentru a înțelege rădăcinile pătrate, cel mai bine este să începeți cu pătratul numerelor. Cadrarea numerelor este destul de simplă: pătrarea unui număr înseamnă multiplicarea acestuia de la sine. De exemplu, 3 pătrat este același cu 3 × 3 = 9, iar 9 pătrat este același cu 9 × 9 = 81. Pătratele sunt marcate prin scrierea numărului mic „2” în dreapta deasupra numărului pătrat. Exemplu: 3, 9, 100 și așa mai departe.
   • Încercați să pătrătiți încă câteva numere pentru a încerca acest concept. Amintiți-vă, pătratul unui număr înseamnă că numărul ar trebui să fie înmulțit cu el însuși. Acest lucru se poate face chiar și pentru numerele negative. În acest caz, rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. De exemplu: -8 = -8 × -8 = 64.
2. 2 Când vine vorba de rădăcini pătrate, procesul este inversat în pătrat. Simbolul rădăcină (√, numit și radical) înseamnă în esență opusul simbolului. Când vedeți un radical, trebuie să vă întrebați: „Ce număr se poate înmulți singur pentru a obține numărul sub rădăcină?” De exemplu, dacă vedeți √ (9), atunci trebuie să găsiți un număr care, atunci când este pătrat, ar da numărul nouă. În cazul nostru, acel număr ar fi trei, deoarece 3 = 9.
   • Luați în considerare un alt exemplu și găsiți rădăcina lui 25 (√ (25)). Aceasta înseamnă că trebuie să găsim un număr care să ne dea 25 pătrat. Deoarece 5 = 5 × 5 = 25, putem spune că √ (25) = 5.
   • De asemenea, vă puteți gândi la acest lucru ca la „desfacerea” pătratului. De exemplu, dacă trebuie să găsim √ (64), rădăcina pătrată a lui 64, atunci să ne gândim la acest număr ca 8. Deoarece simbolul rădăcinii „anulează” pătratul, putem spune că √ (64) = √ (8 ) = 8.
3. 3 Cunoașteți diferența dintre pătratul perfect și nu perfect. Până acum, răspunsurile la problemele noastre cu rădăcina au fost numere bune și rotunde, dar acest lucru nu este întotdeauna cazul. Răspunsurile la problemele rădăcinii pătrate pot fi numere zecimale foarte lungi și incomode. Numerele a căror rădăcină sunt numere întregi (cu alte cuvinte, numere care nu sunt fracții) se numesc pătrate perfecte. Toate exemplele de mai sus (9, 25 și 64) sunt pătrate perfecte, deoarece rădăcina lor va fi un număr întreg (3.5 și 8).
   • Pe de altă parte, numerele care, atunci când sunt luate la rădăcină, nu dau un număr întreg, se numesc pătrate incomplete. Dacă puneți unul dintre aceste numere sub rădăcină, atunci veți obține un număr cu o fracție zecimală. Uneori acest număr poate fi destul de lung. De exemplu, √ (13) = 3.605551275464 ...
4. 4 Memorează primele 1-12 pătrate complete. După cum probabil ați observat deja, găsirea rădăcinii unui pătrat complet este destul de ușoară! Deoarece aceste sarcini sunt atât de ușoare, merită să ne amintim rădăcinile primelor duzini de pătrate complete. Veți întâlni aceste numere de mai multe ori, așa că luați puțin timp pentru a le memora devreme și a economisi timp în viitor.
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144
5. 5 Simplificați rădăcinile îndepărtând pătrățele pline din ea, dacă este posibil. Găsirea rădăcinii unui pătrat incomplet poate fi uneori dificilă, mai ales dacă nu utilizați un calculator (consultați secțiunea de mai jos pentru câteva trucuri pentru a face acest proces mai ușor). Cu toate acestea, puteți simplifica adesea numărul de sub rădăcină pentru a facilita lucrul. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să calculați numărul sub rădăcină, apoi să găsiți rădăcina factorului, care este un pătrat perfect, și să o scrieți în afara rădăcinii. Acest lucru este mai ușor decât pare.Citiți mai departe pentru mai multe informații.
   • Să presupunem că trebuie să găsim rădăcina pătrată a lui 900. La prima vedere, aceasta pare o sarcină destul de descurajantă! Cu toate acestea, nu va fi atât de greu dacă împărțim numărul 900 la factori. Multiplicatorii sunt numere care se înmulțesc între ele pentru a da un număr nou. De exemplu, numărul 6 poate fi obținut înmulțind 1 × 6 și 2 × 3, factorii săi vor fi numerele 1, 2, 3 și 6.
   • În loc să căutăm rădăcina lui 900, care este puțin dificilă, să scriem 900 ca 9 × 100. Acum că 9, care este un pătrat perfect, este separat de 100, îi putem găsi rădăcina. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Cu alte cuvinte, √ (900) = 3√ (100).
   • Putem merge chiar mai departe împărțind 100 la doi factori, 25 și 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Deci putem spune, că √ (900) = 3 (10) = 30
6. 6 Folosiți numere imaginare pentru a găsi rădăcina unui număr negativ. Întrebați-vă, ce număr atunci când este înmulțit singur va da -16? Nu este 4 sau -4, deoarece pătratul acestor numere ne va da un număr pozitiv 16. Renunță? De fapt, nu există nicio modalitate de a scrie rădăcina -16 sau orice alt număr negativ în numere normale. În acest caz, trebuie să înlocuim numerele imaginare (de obicei sub formă de litere sau simboluri), astfel încât acestea să apară în locul rădăcinii unui număr negativ. De exemplu, variabila „i” este de obicei utilizată pentru a rădăcina -1. De obicei, rădăcina unui număr negativ va fi întotdeauna numărul imaginar (sau inclus în acesta).
   • Rețineți că, deși numerele imaginare nu pot fi reprezentate prin numere obișnuite, ele pot fi tratate ca atare. De exemplu, rădăcina pătrată a unui număr negativ poate fi pătrată pentru a da acestor numere negative, ca oricare alta, rădăcina pătrată. De exemplu, i = -1

Partea 2 din 3: Utilizarea algoritmului Diviziei lungi

1. 1 Notați problema cu rădăcina ca o problemă de diviziune lungă. Deși acest lucru poate dura destul de mult, în acest fel puteți rezolva problema incompletă a rădăcinii pătrate fără a recurge la un calculator. Pentru a face acest lucru, vom folosi o metodă de soluție (sau algoritm) care este similară (dar nu exact aceeași) cu divizarea lungă regulată.
   • În primul rând, scrieți problema cu rădăcina în aceeași formă ca și pentru divizarea lungă. Să presupunem că vrem să găsim rădăcina pătrată de 6.45, care nu este tocmai un pătrat perfect. Mai întâi, vom scrie simbolul pătrat obișnuit și apoi vom scrie un număr sub el. Apoi, vom trasa o linie deasupra numărului, astfel încât să apară într-o mică „casetă”, la fel ca în diviziune lungă. După aceea avem o rădăcină cu o coadă lungă și un număr de 6,45 sub ea.
   • Vom scrie numere deasupra rădăcinii, așa că asigurați-vă că lăsați puțin spațiu acolo.
2. 2 Grupați numerele în perechi. Pentru a începe să rezolvați problema, trebuie să grupați cifrele numărului sub radical în perechi, începând cu un punct zecimal. Dacă doriți, puteți face semne mici (cum ar fi puncte, linii oblice, virgule etc.) între perechi pentru a evita confuzia.
   • În exemplul nostru, trebuie să împerechem numărul 6.45 după cum urmează: 6-, 45-00. Rețineți că există o cifră „rămasă” în stânga - acest lucru este normal.
3. 3 Găsiți cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu primul „grup”. Începeți cu primul număr sau pereche din stânga. Alegeți cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu „grupul” rămas. De exemplu, dacă grupul ar fi 37, ați alege numărul 6 deoarece 6 = 36 37 și 7 = 49> 37. Scrieți acest număr deasupra primului grup. Acesta va fi primul număr din răspunsul dvs.
   • În exemplul nostru, primul grup de la 6-, 45-00 va fi numărul 6. Cel mai mare număr care este mai mic sau egal cu 6 în pătrat este 2 = 4. Scrieți numărul 2 deasupra numărului 6 sub rădăcină .
4. 4 Dublați numărul pe care tocmai l-ați scris, apoi rădăcinați-l și scădeți-l. Luați prima cifră a răspunsului dvs. (numărul pe care tocmai l-ați găsit) și dublați-l. Scrieți rezultatul sub primul grup și scădeți pentru a găsi diferența. Aruncați următoarele două numere lângă răspuns. În cele din urmă, scrieți în stânga ultima cifră dublă a primei cifre a răspunsului dvs. și lăsați un spațiu lângă acesta.
   • În exemplul nostru, vom începe prin dublarea numărului 2, care este primul număr din răspunsul nostru. 2 × 2 = 4.Apoi scădem 4 din 6 (primul nostru „grup”), obținând 2. Apoi omitem următorul grup (45) pentru a obține 245. Și în cele din urmă, în stânga, vom scrie din nou numărul 4, lăsând un spațiu mic la sfârșitul, aici așa: 4_
5. 5 Vă rugăm să completați spațiul gol. Apoi, trebuie să adăugați o cifră în partea dreaptă a numărului înregistrat, care este în stânga. Alegeți o cifră, înmulțind care cu noul dvs. număr, veți obține cel mai mare rezultat posibil, dar care ar fi mai mic sau egal cu numărul „omis”. De exemplu, dacă numărul dvs. "omis" este 1700, iar numărul din stânga este 40_, trebuie să scrieți numărul 4 în spațiu, deoarece 404 × 4 = 1616 1700, în timp ce 405 × 5 = 2025. Cifra găsită în acest pas și va fi a doua cifră a răspunsului dvs., astfel încât să îl puteți scrie deasupra semnului rădăcină.
   • În exemplul nostru, trebuie să găsim un număr și să-l scriem în spațiile 4_ × _, ceea ce va face răspunsul cât mai mare posibil, dar totuși mai mic sau egal cu 245. În cazul nostru, este 5. 45 × 5 = 225, în timp ce 46 × 6 = 276
6. 6 Continuați să utilizați numere goale pentru a găsi răspunsul. Continuați să rezolvați această diviziune lungă modificată până când începeți să obțineți zerouri atunci când scădeți numărul „omis” sau până când obțineți nivelul de precizie dorit. Când ați terminat, numerele pe care le-ați folosit pentru a completa spațiile goale din fiecare pas (plus primul număr) vor constitui numărul din răspunsul dvs.
   • Continuând cu exemplul nostru, scădem 225 din 245 pentru a obține 20. Apoi, scăpăm următoarea pereche de numere, 00, pentru a obține 2000. Dublăm numărul deasupra semnului rădăcină. Obținem 25 × 2 = 50. Rezolvând exemplul cu spații, 50_ × _ = / 2.000, obținem 3. În acest stadiu, vom avea 253 scrise deasupra radicalului și repetând acest proces din nou, următorul nostru număr va fi 9 .
7. 7 Mutați punctul zecimal înainte de numărul de dividend original. Pentru a completa răspunsul, trebuie să puneți punctul zecimal la locul corect. Din fericire, acest lucru este destul de ușor de făcut. Tot ce trebuie să faceți este să îl aliniați cu punctul de număr original. De exemplu, dacă numărul 49.8 este sub rădăcină, va trebui să puneți un punct între cele două numere de deasupra celor nouă și opt.
   • În exemplul nostru, există 6,45 sub radical, deci doar mutăm punctul și îl punem între numerele 2 și 5 în răspunsul nostru și obținem răspunsul egal cu 2,539.

Partea 3 din 3: Numărarea rapidă a pătratelor incomplete

1. 1 Găsiți pătrate incomplete numărându-le. Odată ce memorați pătratele complete, găsirea rădăcinii pătratelor incomplete devine mult mai ușoară. Întrucât știți deja o duzină de pătrate perfecte, orice număr care se încadrează în zona dintre aceste două pătrate complete poate fi găsit prin reducerea totul la un număr aproximativ între aceste valori. Începeți prin a găsi două pătrate complete cu numărul dvs. între ele. Apoi determinați care dintre aceste numere este mai aproape de dvs.
   • De exemplu, să presupunem că trebuie să găsim rădăcina pătrată a lui 40. Deoarece am memorat pătrate perfecte, putem spune că 40 este între 6 și 7 sau 36 și 49. Deoarece 40 este mai mare decât 6, rădăcina sa va fi mai mare decât 6 , și din moment ce este mai mic de 7, rădăcina sa va fi, de asemenea, mai mică de 7. 40 este puțin mai aproape de 36 decât de 49, astfel încât răspunsul este probabil să fie puțin mai aproape de 6. În următorii pași, vom restrânge Răspuns.
2. 2 Numărați rădăcina pătrată până la prima zecimală. După ce ați selectat două pătrate complete între care se află numărul dvs., totul se reduce la numărul dvs. până când veți obține răspunsul dorit. Cu cât numeri mai mult, cu atât răspunsul tău va fi mai exact. Începeți prin a alege unde să puneți punctul zecimal în răspunsul dvs. Nu trebuie să fie corect, dar vă va economisi timp dacă utilizați logica și puneți capăt cât mai aproape posibil de răspunsul corect.
   • În exemplul nostru, o estimare rezonabilă a rădăcinii pătrate de 40 ar putea fi 6,4, deoarece din informațiile de mai sus, știm că răspunsul este mai aproape de 6 decât de 7.
3. 3 Înmulțiți numărul aproximativ cu el însuși. Următorul lucru pe care ar trebui să-l faci este pătratul numărului aproximativ. Cel mai probabil veți avea noroc și nu veți primi numărul original. Va fi fie puțin mai mare, fie puțin mai mic.Dacă rezultatul dvs. este prea mare, atunci încercați din nou, dar cu o estimare puțin mai mică (și invers dacă rezultatul este prea mic).
   • Înmulțiți 6,4 de la sine și obțineți 6,4 x 6,4 = 40,96, care este puțin mai mult decât numărul inițial.
   • Deoarece răspunsul nostru s-a dovedit a fi mai mare, ar trebui să înmulțim numărul cu o zecime mai puțin cu aproximativul și să obținem următoarele: 6,3 × 6,3 = 39,69. Acesta este puțin mai mic decât numărul inițial. Aceasta înseamnă că rădăcina pătrată a lui 40 este între 6,3 și 6,4. Din nou, deoarece 39,69 este mai aproape de 40 decât 40,96, știm că rădăcina pătrată va fi mai aproape de 6,3 decât 6,4.
4. 4 Continuați să calculați. În acest moment, dacă sunteți mulțumit de răspunsul dvs., puteți pur și simplu să luați prima presupunere pe care o ghiciți. Cu toate acestea, dacă doriți un răspuns mai precis, tot ce trebuie să faceți este să alegeți o valoare aproximativă cu două zecimale care să plaseze acea valoare aproximativă între primele două numere. Continuând acest număr, puteți obține trei, patru sau mai multe zecimale pentru răspunsul dvs. Totul depinde de cât de departe vrei să ajungi.
   • Pentru exemplul nostru, să alegem 6.33 ca valoare aproximativă cu două zecimale. Înmulțiți 6,33 de la sine pentru a obține 6,33 × 6,33 = 40,0689. deoarece acesta este puțin mai mare decât numărul nostru, vom lua un număr mai mic, de exemplu, 6,32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. Acest răspuns este puțin mai mic decât numărul nostru, așa că știm că rădăcina pătrată exactă este cuprinsă între 6,32 și 6,33. Dacă am dori să continuăm, am continua să folosim aceeași abordare pentru a obține un răspuns care devine din ce în ce mai precis.

sfaturi

• Pentru a găsi rapid o soluție, utilizați calculatorul. Majoritatea calculatoarelor moderne pot găsi instantaneu rădăcina pătrată a unui număr. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți numărul dvs. și apoi să faceți clic pe butonul rădăcină. De exemplu, pentru a găsi rădăcina 841, va trebui să apăsați 8, 4, 1 și (√). Drept urmare, veți primi un răspuns de 39.