Conţinut

• A calca
• Partea 1 din 3: Bazele analizei
• Partea 2 din 3: Înțelege derivatele
• Partea 3 din 3: Înțelegeți integralele
• sfaturi

Analiza (numită și calcul) este o ramură a matematicii axată pe limite, funcții, derivate, integrale și serii infinite. Acest subiect acoperă o mulțime de matematică și stă la baza multor formule și ecuații utilizate în fizică și mecanică. Probabil că va trebui să fi avut câțiva ani de matematică în liceu pentru a înțelege corect analiza, dar acest articol vă va ajuta să învățați să recunoașteți conceptele cheie, precum și o mai bună înțelegere a teoriei.

A calca

Partea 1 din 3: Bazele analizei

1. Analiza este studiul modului în care lucrurile se schimbă. Analiza este o ramură a matematicii care examinează cifre și grafice, luate de obicei din date din lumea reală și explică modul în care acestea se schimbă. Deși acest lucru poate să nu pară foarte util la început, analiza este una dintre ramurile cele mai frecvent utilizate ale matematicii. Imaginați-vă că aveți instrumentele care să vă spună cât de rapid crește afacerea dvs. la un moment dat sau cum să stabiliți cursul unei nave spațiale și cât de repede este consumat combustibilul acesteia. Analiza este un instrument important în inginerie, economie, statistici, chimie și fizică și a contribuit la numeroase invenții și descoperiri.
2. Funcțiile sunt relații între două numere și sunt utilizate pentru maparea relațiilor. Sunt reguli pentru relația dintre numere, iar matematicienii le folosesc pentru a face grafice. Într-o funcție, fiecare intrare are exact un singur rezultat. De exemplu: în ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Gândiți-vă la conceptul de infinit. Infinitul este repetarea constantă a unui proces. Nu este un loc specific (nu puteți merge la infinit), ci mai degrabă comportamentul unui număr sau al unei ecuații, dacă este făcut pentru totdeauna. Acest lucru este important pentru studierea schimbării: poate doriți să știți cât de repede se mișcă mașina dvs. la un moment dat, dar este cât de repede se mișcă mașina dvs. în secunda actuală? Milisecundă? Nanosecunda? Puteți găsi bucăți de timp infinit mai mici pentru a fi și mai precise, și atunci intervine analiza.
3. Înțelegeți conceptul de limite. O limită vă spune ce se întâmplă când ceva se apropie de infinit. Luați numărul 1 și împărțiți-l la 2. Continuați să împărțiți la 2 din nou și din nou. 1 devine 1/2 și apoi 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 etc. De fiecare dată când numărul devine din ce în ce mai mic, „mai aproape de” zero. Dar unde se oprește? De câte ori trebuie să împărțiți 1 la 2 pentru a obține zero? În loc să răspundeți la această întrebare, în analiză setați una limită În acest caz, limita este.
   • Limitele sunt cele mai ușor de vizualizat într-un grafic - de exemplu, există puncte pe care un grafic aproape le atinge, dar niciodată în mod absolut?
   • Limitele pot fi numerice, infinite sau chiar inexistente. De exemplu, cu secvența de adunare 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... și aceasta continuă la nesfârșit, numărul final devine infinit de mare. Limita devine apoi infinită.
4. Revedeți conceptele esențiale de matematică ale algebrei, trigonometriei și elementele de bază ale matematicii. Analiza se bazează pe o mare parte din matematica pe care ați învățat-o înainte. Fiind bine informat despre toate subiectele, este mult mai ușor să înveți și să înțelegi analiza. Câteva subiecte de abordat sunt:
   • Algebră. Trebuie să înțelegeți diferitele procese și să puteți rezolva ecuații și sisteme de ecuații cu variabile multiple. Înțelegeți elementele de bază ale colecțiilor. Exersați la realizarea graficelor.
   • Geometrie. Geometria este studiul formelor. Ar trebui să aveți cunoștințe de bază despre triunghiuri, dreptunghiuri și cercuri și despre cum să calculați lucruri precum perimetrul și aria. Înțelegeți unghiurile, liniile și coordonatele
   • Trigonometrie. Trigonometria este ramura matematicii care se ocupă de proprietățile cercurilor și ale triunghiurilor dreptunghiulare. Știți cum să utilizați identități trigonometrice, grafice, funcții și funcții trigonometrice inverse.
5. Achiziționați un calculator grafic. Analiza nu este ușor de înțeles fără a vedea ce faceți. Calculatoarele grafice fac funcțiile vizuale astfel încât să puteți înțelege mai bine cu ce ecuații aveți de-a face. Adesea, limitele sunt afișate și pe ecran, iar derivatele și funcțiile sunt calculate automat.
   • Multe smartphone-uri și tablete oferă astăzi aplicații grafice ieftine, dar eficiente, dacă nu doriți sau nu puteți cumpăra un calculator grafic.

Partea 2 din 3: Înțelege derivatele

1. Analiza este utilizată pentru a studia „schimbarea la un moment specific”. Știind de ce se schimbă ceva la un moment exact este nucleul analizei. De exemplu, analiza vă oferă nu numai viteza unei mașini, ci și cât de mult se schimbă viteza respectivă la un moment dat. Aceasta este una dintre cele mai simple utilizări ale analizei, dar foarte importantă. Imaginați-vă cât de importante sunt aceste informații în determinarea vitezei necesare pentru a ajunge o navă spațială pe Lună!
   • Determinarea schimbării într-un anumit moment în timp are diferențiază. Diferențierea este prima dintre cele două ramuri majore de analiză.
2. Utilizați instrumentele derivate pentru a înțelege cum se schimbă lucrurile la un moment dat. Un „derivat” este un cuvânt frumos pentru ceva care adesea îi face pe studenți să fie nervoși. Cu toate acestea, conceptul în sine nu este atât de greu de înțeles - înseamnă doar „cât de repede se schimbă ceva”. Derivații pe care îi veți întâlni cel mai mult în viața de zi cu zi au legătură cu viteza. Cu toate acestea, de obicei nu îl numiți „derivatul vitezei”, ci pur și simplu „accelerația”.
   • Accelerarea este o derivată - vă spune cât de repede se accelerează sau încetinește ceva sau cum se schimbă viteza acestuia.
3. Să știți că rata de schimbare este egală cu panta dintre două puncte. Aceasta este una dintre cele mai importante descoperiri de analiză. Rata de schimbare între două puncte este egală cu panta liniei dintre aceste două puncte. Gândiți-vă doar la o linie simplă, cum ar fi cea a ecuației ${ displaystyle y = 3x.}$Să știți că puteți determina panta liniilor curbe. Determinarea pantei unei linii drepte este relativ ușoară: cât se schimbă ${ displaystyle y}$Dacă doriți să calculați modificarea mai precis, asigurați-vă că punctele sunt mai apropiate unele de altele. Cu cât alegeți cele două puncte mai aproape, cu atât răspunsul dvs. este mai precis. Să presupunem că doriți să știți cât accelerează mașina dvs. când apăsați pe accelerație. Nu doriți să măsurați schimbarea de viteză între casa dvs. și supermarket, ci schimbarea de viteză din momentul în care ați lovit acceleratorul. Cu cât lectura dvs. se apropie de acea fracțiune de secundă, cu atât calculul modificării este mai precis.
   • De exemplu, oamenii de știință investighează cât de repede se sting unele specii pentru a le salva. Cu toate acestea, iarna mor mai multe animale decât vara, deci nu este util să se studieze rata de schimbare pe tot parcursul anului - este mai bine să se determine rata de schimbare într-o perioadă mai mică, cum ar fi de la 1 iulie la 1 august.
4. Utilizați linii infinit de scurte pentru a determina „rata instantanee de schimbare” sau pentru a găsi derivata. Aici analiza devine adesea puțin confuză, dar acesta este de fapt rezultatul a două fapte simple. În primul rând, știți că panta unei linii este egală cu viteza cu care se schimbă acea linie. În al doilea rând, știți că cu cât punctele liniei sunt mai apropiate între ele, cu atât citirea va deveni mai precisă. Dar cum găsiți rata de schimbare la un anumit punct dacă panta este relația dintre două puncte? Răspunsul: Alegeți două puncte care sunt infinit apropiate una de cealaltă.
   • Luați în considerare exemplul în care continuați să împărțiți 1 la 2, obținând astfel 1/2, 1/4, 1/8 etc. Așadar, în cele din urmă ajungi aproape de zero, iar răspunsul este „aproape zero”. Punctele sunt atât de apropiate una de cealaltă încât sunt „aproape egale una cu cealaltă”. Aceasta este natura instrumentelor derivate.
5. Aflați cum să determinați diferite derivate. Există o mulțime de tehnici diferite pentru găsirea unei derivate în funcție de ecuație, dar cele mai multe dintre ele au sens dacă ați memorat elementele de bază ale derivatelor de mai sus. Toate derivatele sunt un mod de a găsi panta unei linii „infinitesimale”. Acum, că știți mai multe despre teoria derivatelor, o mare parte a lucrării constă în găsirea răspunsurilor.
6. Găsiți ecuațiile derivate pentru a prezice rata de schimbare în orice moment. Este util să utilizați instrumente derivate pentru a determina rata de schimbare la un moment dat, dar frumusețea analizei este că puteți crea un model nou pentru orice funcție. Derivatul lui ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Dacă vi se pare dificil de înțeles, încercați să vă amintiți exemple din derivați din viața reală. Cel mai simplu exemplu se bazează pe viteză, care cuprinde o mulțime de derivate diferite pe care le întâlnim în fiecare zi. Nu uita: o derivată este o măsură a vitezei cu care se schimbă ceva. Gândiți-vă la un experiment simplu. Rulați o marmură pe o masă și măsurați cât de departe se mișcă și cât de repede de fiecare dată. Acum imaginați-vă că marmura rulantă urmează o linie pe un grafic - utilizați derivate pentru a măsura schimbările instantanee în orice moment pe acea linie.
   • Cât de repede se mișcă marmura? Cu ce ​​viteză se schimbă poziția (sau derivatul) marmurei în mișcare? Acest derivat îl numim „viteză”.
   • Rulați marmura de-a lungul unei pante și observați cum se schimbă viteza. Care este rata de schimbare sau derivată a vitezei marmurei? Această derivată este ceea ce numim „accelerare”.
   • Rulați marmura de-a lungul unei piste ondulate, cum ar fi un roller coaster. În ce măsură marmura câștigă viteză atunci când se rostogolește și în ce măsură marmura încetinește în sus? Cât de repede merge marmura exact când este la jumătatea primului deal? Aceasta este rata instantanee de schimbare sau derivatul acelei marmuri la acel punct specific.

Partea 3 din 3: Înțelegeți integralele

1. Știți că puteți utiliza analiza pentru a găsi zone și volume complexe. Cu analiza puteți măsura forme complexe care altfel sunt greu de măsurat. Luați în considerare, de exemplu, problema că doriți să știți câtă apă conține un lac lung, de formă neregulată - este imposibil să măsurați separat fiecare litru de apă sau să folosiți o riglă pentru a măsura forma lacului. Cu ajutorul analizei puteți studia modul în care marginile lacului se schimbă și apoi puteți utiliza acele informații pentru a afla câtă apă conține.
   • Realizarea de modele geometrice și studiul volumelor integra. Calculul integrat este a doua ramură importantă a analizei.
2. Să știți că integrarea este zona de sub un grafic. Integrarea este utilizată pentru a măsura spațiul de sub o linie, ceea ce vă permite să determinați zona formelor ciudate sau neregulate. Ia ecuația ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Știți că trebuie să selectați o zonă pentru integrare. Nu puteți integra pur și simplu o întreagă funcție. De exemplu, ${ displaystyle y = x}$Gândiți-vă cum să calculați aria unui dreptunghi. Să presupunem că aveți o linie plană deasupra unui grafic, cum ar fi ${ displaystyle y = 4.}$Să știți că în calculul integral se adaugă o mulțime de dreptunghiuri mici pentru a găsi aria unei zone. Când măriți enorm o curbă, aceasta pare a fi o linie dreaptă. Vedeți acest lucru în fiecare zi - nu puteți percepe curbura pământului pentru că sunteți atât de aproape de suprafața pământului. Integrarea creează un număr infinit de dreptunghiuri mici sub o curbă atât de mici încât sunt practic plate, permițându-vă să le numărați. Toate aceste dreptunghiuri adunate formează aria zonei sub o curbă.
   • Să presupunem că adăugați o mulțime de segmente mici sub grafic, iar aceasta este lățimea fiecărui segment aproape este zero.
3. Știți cum să citiți și să scrieți integral integral. Integralele sunt formate din 4 părți. O integrală tipică arată astfel:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Aflați mai multe despre găsirea de integrale. Integrarea vine în multe forme și trebuie să învățați o mulțime de formule diferite pentru a integra fiecare funcție. Cu toate acestea, toate respectă principiile prezentate mai sus: integrarea este suma unui număr infinit de lucruri.
   • Integrarea prin substituire.
   • Calculați integralele nedeterminate.
   • Integrarea prin partajare.
4. Să știți că integrarea este inversul diferențierii și invers. Aceasta este o regulă de bază care este atât de importantă încât i s-a dat propriul nume: Teorema principală a calculului integral.Deoarece integrarea și diferențierea sunt atât de strâns legate, o combinație a celor două poate fi utilizată pentru a determina rata de schimbare, accelerație, viteză, locație, mișcare etc., indiferent de ce informații aveți.
   • De exemplu, amintiți-vă că derivata vitezei este accelerația, astfel încât să puteți utiliza viteza pentru a găsi accelerația. Dar dacă știți doar accelerația a ceva (cum ar fi obiectele care cad din cauza gravitației), atunci vă puteți integra pentru a recâștiga viteza!
5. Să știți că, prin integrare, puteți controla și volumul obiectelor 3D. Rotirea unei forme plate este o modalitate de a crea solide 3D. Imaginați-vă o monedă care se învârte pe masă - observați cum moneda pare să ia forma unei sfere pe măsură ce se învârte. Acest concept vă permite să determinați volumul în conformitate cu un proces cunoscut sub numele de "volum prin rotație".
   • Acest lucru vă permite să determinați volumul oricărui solid, atâta timp cât aveți o funcție care îl reprezintă. De exemplu, puteți crea o funcție care urmărește fundul unui lac și apoi să o utilizați pentru a determina volumul lacului sau cantitatea de apă pe care o conține.

sfaturi

• Practica este perfectă, la fel și exercițiile de practică din manual - chiar și cele pe care profesorul nu le-a dat - și verifică răspunsurile pentru a te ajuta să înțelegi mai bine conceptele.
• Dacă nu găsiți o soluție, întrebați-vă profesorul.