Conţinut

• A calca
• sfaturi

Ca grafic vezi o ecuație pătratică ax + bx + c , de asemenea, care este scris ca a (x - h) + k, arată ca o curbă netedă în formă de U. Noi îl numim pe acesta parabolă. Graficarea unei ecuații pătratice implică găsirea vârfului, a direcției și, adesea, a punctelor de intersecție cu axa x și axa y. În cazul ecuației pătratice relativ simple, poate fi, de asemenea, suficient să introduceți un număr de valori pentru x pentru a indica aceste puncte în sistemul de coordonate, după care parabola poate fi trasată. Continuați cu pasul 1 pentru a începe.

A calca

1. Determinați ce fel de ecuație de gradul doi aveți. Poate fi scris în două moduri: notația standard și notația vertex (un alt mod de a scrie formula rădăcinii pătrate). Puteți utiliza ambele pentru a crea un grafic al unei ecuații pătratice, dar procesul este ușor diferit în fiecare caz. De cele mai multe ori vei întâlni forma standard, dar cu siguranță nu strică să înveți să folosești ambele forme. Cele două forme ale unei ecuații pătratice sunt:
   • Forma standard. Ecuația pătratică este notată ca: f (x) = ax + bx + c unde a, b și c sunt numere reale și a nu este egal cu zero.
     • Două exemple de ecuații pătratice standard: f (x) = x + 2x + 1 și f (x) = 9x + 10x -8.
   • Forma vârfului. Ecuația pătratică este notată ca: f (x) = a (x - h) + k unde a, h și k sunt numere reale și a nu este egal cu zero. Această formă se numește vârf, deoarece h și k se referă direct la vârful parabolei dvs. în punctul (h, k).
     • Două exemple de ecuații de formă de vârf sunt f (x) = 9 (x - 4) + 18 și -3 (x - 5) + 1
   • Pentru a face un grafic al acestor ecuații, determinăm mai întâi partea de sus (h, k) a graficului. În ecuația standard veți găsi acest lucru prin: h = -b / 2a și k = f (h), în timp ce acest lucru este deja dat sub formă de vârf, deoarece h și k apar în ecuație.
2. Determinați-vă variabilele. Pentru a rezolva o ecuație pătratică este de obicei necesar să se determine variabilele a, b și c (sau a, h și k). Un exercițiu regulat vă va oferi o ecuație de gradul doi în forma standard, dar poate apărea și notația vertexului.
   • De exemplu: funcția standard f (x) = 2x + 16x + 39. Aici avem a = 2, b = 16 și c = 39.
   • În notația de vârf: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Aici avem a = 4, h = 5 și k = 12.
3. Calculați h. În notația de vârf, valoarea h este deja dată, dar în notația standard această valoare nu a fost încă calculată. Amintiți-vă că, cu ecuația standard se menține: h = -b / 2a.
   • Exemplul 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Rezolvând acest lucru vedem că h = -4.
   • Exemplul 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12), vedem imediat că h = 5.
4. Calculați k. Ca și în cazul h, k este deja cunoscut din ecuațiile formelor de vârf. Pentru ecuații în notație standard, amintiți-vă că k = f (h). Cu alte cuvinte, puteți găsi k înlocuind orice variabilă x cu valoarea h.
   • Am văzut de exemplu 1 că h = -4. Pentru a găsi k, rezolvăm această ecuație completând această valoare a h în ecuație, pentru variabila x:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Din exemplul 2 știm că valoarea lui k este egală cu 12, fără a fi nevoie de niciun calcul.
5. Desenați partea de sus sau de jos a graficului. Vârful sau valea parabolei dvs. este punctul (h, k) - h reprezintă coordonata x și k reprezintă coordonata y. Vârful este centrul parabolei dvs. - punctul cel mai înalt sau cel mai de jos, vârful sau valea, a unui grafic sub forma unui „U” sau invers.Posibilitatea de a determina partea de sus a unei parabole este o parte esențială a desenării unui grafic corect - de multe ori determinarea vârfului unei parabole face parte dintr-o problemă de matematică la școală.
   • În exemplul 1, partea de sus a graficului este (-4,7). Desenați punctul pe graficul dvs. și asigurați-vă că numiți corect coordonatele.
   • În exemplul 2, partea de sus este (5.12). Deci, din punctul (0,0) mergi 5 locuri spre dreapta și apoi sus 12.
6. Dacă este necesar, desenați axa de simetrie a parabolei. Axa de simetrie a unei parabole este linia care intersectează figura în mijloc, împărțind-o exact în jumătate. O parte a graficului este oglindită de-a lungul acestei linii în cealaltă parte a graficului. În ecuațiile pătratice ale lui ax + bx + c sau a (x - h) + k, această axă este linia paralelă cu axa y care trece prin vârful parabolei.
   • În cazul exemplului 1, axa de simetrie este linia paralelă cu axa y și trece prin punctul (-4,7). Deși nu face parte din parabolă în sine, evidențierea ușoară a acestui ghid vă poate arăta cât de simetrică este curba parabolei.
7. Determinați direcția parabolei. După ce ați aflat care este vârful parabolei, este necesar să știți dacă aveți de-a face cu un parabol de munte sau de vale, adică dacă deschiderea este în partea de jos sau în partea de sus. Din fericire, acest lucru este foarte ușor. Dacă „a” este pozitiv, aveți de-a face cu o parabolă de vale; dacă „a” este negativ este o parabolă montană (cu deschiderea în partea de jos)
   • În exemplul 1 avem de-a face cu funcția (f (x) = 2x + 16x + 39), deci aceasta este o parabolă de vale, deoarece a = 2 (pozitiv).
   • În exemplul 2 avem de-a face cu funcția f (x) = 4 (x - 5) + 12), iar aceasta este, de asemenea, o parabolă de vale, deoarece a = 4 (pozitiv).
8. Determinați punctele de intersecție ale parabolei, dacă este necesar. Adesea, atunci când o problemă matematică este rugată să dea intersecțiile parabolei cu axa x (acestea sunt „zero”, A sau Două punctele în care parabola se intersectează sau lovește axa x). Chiar dacă nu sunt solicitate, aceste puncte sunt foarte importante pentru a putea desena un grafic precis. Dar nu toate parabolele au o intersecție cu axa x. Dacă aveți de-a face cu o parabolă de vale și punctul de vale este deasupra axei X sau, în cazul unei parabole montane, chiar sub axa X, atunci pur și simplu nu există puncte de intersecție. Dacă da, utilizați una dintre următoarele metode:
   • Determinați că f (x) = 0 și rezolvați ecuația. Această metodă poate funcționa pentru ecuații pătratice simple, în special în forma de vârf, dar veți descoperi că acest lucru devine din ce în ce mai dificil pe măsură ce funcțiile devin mai complexe. Mai jos sunt câteva exemple.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 și 13 sunt punctele de intersecție cu axa x a parabolei.
   • Factorizați ecuația. Unele ecuații sub forma ax + bx + c pot fi rescrise cu ușurință ca (dx + e) ​​(fx + g), unde dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx și e × g = c. În acest caz, intersecțiile x sunt valorile lui x unde fiecare termen din paranteză devine egal cu 0. De exemplu:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • În acest caz, punctul de intersecție este -1 deoarece, introdus în ambii factori, acesta produce zero.
   • Folosiți formula abc. Dacă nu este ușor să dai seama de intersecții sau să factorizezi ecuația, folosește „formula abc” special în acest scop. Să presupunem o ecuație în forma ax + bx + c. Apoi introduceți valorile lui a, b și c, în formula x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a. Rețineți că acest lucru vă oferă adesea două răspunsuri pentru x, ceea ce este bine - asta înseamnă doar că parabola dvs. are două intersecții cu axa x. Iată un exemplu:
     • Introduceți -5x + 1x + 10 în ecuație în felul următor:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) și (-15,18 / -10). Punctele de intersecție ale parabolei cu axa x sunt aproximativ x = -1,318 și 1,518
     • Ca și în exemplul 1 cu ecuația 2x + 16x + 39, acesta va arăta astfel:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Deoarece nu este posibil să găsim rădăcina pătrată a unui număr negativ, știm că nu există puncte de intersecție cu axa x pentru această parabolă specială.
9. Dacă este necesar, determinați intersecția parabolei cu axa y. De multe ori nu este necesar, dar uneori este necesar să se găsească această intersecție, de exemplu pentru o problemă de matematică. Acest lucru este destul de ușor - setați valoarea lui x la 0 și rezolvați ecuația pentru f (x) sau y, care vă oferă valoarea y a punctului în care parabola se intersectează cu axa y. Diferența cu punctele de intersecție prin axa x este că la axa y există întotdeauna un singur punct de intersecție. Notă - cu ecuații standard, intersecția cu axa y este la y = c.
   • De exemplu, știm că ecuația noastră pătratică 2x + 16x + 39 are o intersecție y = 39, dar putem găsi acest lucru după cum urmează:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. Intersecția parabolei cu axa y: y = 39. Așa cum s-a indicat mai sus, putem citi cu ușurință punctul de intersecție deoarece y = c.
   • Ecuația 4 (x - 5) + 12 are o intersecție cu axa y, care poate fi găsită după cum urmează:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. Intersecția cu axa y: y = 112.
10. Dacă credeți că este necesar, atrageți mai întâi puncte suplimentare și apoi întregul grafic. Acum ar trebui să aveți un vârf sau o vale, o direcție, puncte de intersecție cu axa x și, eventual, cu axa y a ecuației dvs. Din acest moment puteți încerca să desenați parabola folosind aceste puncte sau puteți încerca să găsiți mai multe puncte pentru a face graficul mai precis. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este pur și simplu să introduceți un număr de valori x, care va returna un număr de valori y. De multe ori vi se va cere (de către profesor) să calculați un număr de puncte înainte de a putea începe să desenați parabola.
    • Să aruncăm o altă privire la ecuația x + 2x + 1. Știm deja că singura intersecție cu axa x este (-1,0). Deoarece atinge doar axa x în acest moment, putem deduce că partea de sus a graficului este egală cu acest punct. Până acum avem doar un punct al acestei parabole - nu suficient pentru a desena un grafic. Să găsim încă câteva puncte pentru a ne asigura că avem mai multe valori.
      • Să încercăm să găsim valorile y care corespund următoarelor valori x: 0, 1, -2 și -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Apoi punctul (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Apoi punctul (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Apoi punctul (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Apoi punctul (-3,4).
      • Așezați aceste puncte în grafic și desenați parabola. Rețineți că parabola este complet simetrică - dacă cunoașteți punctele de pe o parte a graficului, de obicei vă puteți economisi multă muncă folosind aceste puncte pentru a găsi punctele de pe cealaltă parte a axei de simetrie.

sfaturi

• Dacă este necesar, rotunjește numerele sau folosește fracții. Acest lucru vă poate ajuta să afișați corect o diagramă.
• Rețineți că, dacă pentru funcția f (x) = ax + bx + c, b sau c sunt egali cu zero, acești termeni vor dispărea. De exemplu, 12x + 0x + 6 devine egal cu 12x + 6 deoarece 0x este egal cu 0.