Conţinut

• A calca
• Metoda 1 din 3: Utilizarea metodei de substituție
• Metoda 2 din 3: Utilizarea metodei de eliminare
• Metoda 3 din 3: Graficați ecuațiile
• sfaturi
• Avertizări

Într-un „sistem de ecuații” vi se cere să rezolvați două sau mai multe ecuații în același timp. Când aceste două conțin variabile diferite, cum ar fi x și y, sau a și b, poate fi dificil la prima vedere să vedem cum să le rezolvăm. Din fericire, odată ce știi ce trebuie să faci, ai nevoie doar de niște abilități matematice de bază (și, uneori, niște cunoștințe fracționale) pentru a rezolva problema. Dacă este necesar sau dacă sunteți un student vizual, aflați cum să graficați și ecuațiile. Graficarea (graficarea) unui grafic poate fi utilă pentru „a vedea ce se întâmplă” sau pentru a vă verifica munca, dar poate fi și mai lentă decât celelalte metode și nu funcționează cu toate sistemele de ecuații.

A calca

Metoda 1 din 3: Utilizarea metodei de substituție

1. Mutați variabilele în diferite părți ale ecuației. Această metodă de „substituție” începe cu „rezolvarea pentru x” (sau orice altă variabilă) într-una dintre ecuații. De exemplu, avem următoarele ecuații: 4x + 2y = 8 și 5x + 3x = 9. În primul rând, ne uităm la prima comparație. Rearanjați scăzând 2y din fiecare parte și obțineți: 4x = 8-2y.
   • Această metodă folosește adesea fracții într-o etapă ulterioară. De asemenea, puteți utiliza metoda de eliminare de mai jos dacă preferați să nu lucrați cu fracțiuni.
2. Împărțiți ambele părți ale ecuației pentru a rezolva pentru "x". Odată ce aveți termenul x (sau orice variabilă utilizați) pe o parte a ecuației, împărțiți ambele părți ale ecuației pentru a izola variabila. De exemplu:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Conectați acest lucru înapoi la cealaltă ecuație. Asigurați-vă că reveniți la Alții comparație, nu cea pe care ați folosit-o deja. În acea ecuație, înlocuiți variabila pe care ați rezolvat-o, lăsând o singură variabilă. De exemplu:
   • Acum știți că: x = 2 - ½y.
   • A doua ecuație, pe care nu ați schimbat-o încă, este: 5x + 3x = 9.
   • În a doua ecuație, înlocuiți x cu „2 - ½y”: 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Rezolvați pentru variabila rămasă. Acum aveți o ecuație cu o singură variabilă. Folosiți tehnici comune de algebră pentru a rezolva acea variabilă. Dacă variabilele se anulează reciproc, treceți la ultimul pas. În caz contrar, veți avea un răspuns la una dintre variabilele dvs.:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Dacă nu înțelegeți acest pas, aflați cum să adăugați fracții. Acest lucru este adesea necesar, dar nu întotdeauna, cu această metodă).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Folosiți răspunsul pentru a rezolva cealaltă variabilă. Nu faceți greșeala de a termina problema la jumătatea drumului. Va trebui să reintroduceți răspunsul pe care l-ați primit într-una din ecuațiile originale, astfel încât să puteți rezolva pentru cealaltă variabilă:
   • Acum știți că: y = -2
   • Una dintre ecuațiile originale este: 4x + 2y = 8. (Ambele ecuații pot fi utilizate pentru acest pas).
   • Conectați -2 în loc de y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Aflați ce să faceți dacă ambele variabile se anulează reciproc. Cand tu x = 3y + 2 sau obțineți un răspuns similar în cealaltă ecuație, încercați să obțineți o ecuație cu o singură variabilă. Uneori, în cele din urmă ajungeți la o ecuație fără variabile. Verificați-vă de două ori munca și asigurați-vă că înlocuiți prima ecuație (rearanjată) din a doua ecuație și nu prima ecuație. Dacă sunteți sigur că nu ați făcut greșeli, veți obține unul dintre următoarele rezultate:
   • Dacă ajungeți la o ecuație fără variabile și care nu este adevărată (de exemplu, 3 = 5), atunci aveți problema Nici o soluție. (Dacă ați grafic ecuațiile, veți vedea că sunt paralele și nu se intersectează niciodată).
   • Dacă ajungeți la o ecuație fără variabile, dar acelea bine este adevărat (de exemplu, 3 = 3), atunci are problema un număr infinit de soluții. Cele două ecuații sunt exact egale. (Dacă graficați cele două ecuații, veți vedea că se suprapun exact).

Metoda 2 din 3: Utilizarea metodei de eliminare

1. Determină variabila care trebuie eliminată. Uneori ecuațiile se vor „elimina” reciproc într-o variabilă imediat ce le adăugați împreună. De exemplu, când faci ecuațiile 3x + 2y = 11 și 5x - 2y = 13 combina, „+ 2y” și „-2y” se vor anula reciproc, cu toate „ys sunt eliminate din ecuație. Uită-te la ecuațiile din problema ta pentru a afla dacă oricare dintre variabile va fi eliminată în acest fel. Dacă niciuna dintre variabile nu este eliminată, citiți la pasul următor pentru sfaturi.
2. Înmulțiți o ecuație pentru a anula o variabilă. (Omiteți acest pas dacă variabilele s-au eliminat deja reciproc). Dacă niciuna dintre variabilele din ecuații nu se anulează de la sine, atunci trebuie să schimbați una dintre ecuații astfel încât să o facă. Acest lucru este cel mai ușor de înțeles cu un exemplu:
   • Să presupunem că aveți sistemul de ecuații 3x - y = 3 și -x + 2y = 4.
   • Să schimbăm prima ecuație astfel încât variabila să fie y este eliminat. (Puteți face acest lucru și pentru X faceți și obțineți același răspuns).
   • - y " din prima ecuație ar trebui eliminată cu + 2 ani În a doua ecuație. Putem face acest lucru până la - da înmulțiți cu 2.
   • Înmulțim ambele părți ale primei ecuații cu 2, după cum urmează: 2 (3x - y) = 2 (3), și, astfel 6x - 2y = 6. Acum o va face - 2 ani cădea împotriva + 2 ani în a doua ecuație.
3. Combinați cele două ecuații. Pentru a putea combina două ecuații, adăugați părțile stânga și dreapta împreună. Dacă ați scris corect ecuația, una dintre variabile ar trebui să se anuleze față de cealaltă. Iată un exemplu care folosește aceleași ecuații ca și ultimul pas:
   • Ecuațiile dvs. sunt: 6x - 2y = 6 și -x + 2y = 4.
   • Combinați părțile stângi: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Combinați laturile din dreapta: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Rezolvați pentru ultima variabilă. Simplificați ecuația combinată și apoi utilizați algebra de bază pentru a rezolva ultima variabilă. Dacă nu au mai rămas variabile după simplificare, continuați cu ultimul pas din această secțiune. În caz contrar, ar trebui să încheiați cu un răspuns simplu la una dintre variabilele dvs. De exemplu:
   • Aveți: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Grupați variabilele X și y unul cu altul: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Simplifica: 5x = 10
   • Rezolvați pentru x: (5x) / 5 = 10/5, astfel încât x = 2.
5. Rezolvați pentru celelalte variabile. Ați găsit o variabilă, dar încă nu ați terminat. Înlocuiți răspunsul cu una dintre ecuațiile originale, astfel încât să puteți rezolva pentru cealaltă variabilă. De exemplu:
   • Tu stii asta x = 2, și una dintre ecuațiile dvs. originale 3x - y = 3 este.
   • Conectați 2, în loc de x: 3 (2) - y = 3.
   • Rezolvați y în ecuație: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, asa de 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Aflați ce să faceți atunci când ambele variabile se anulează reciproc. Uneori, combinarea a două ecuații are ca rezultat o ecuație care nu are sens sau nu vă ajută să rezolvați problema. Verifică-ți de două ori munca de la început, dar dacă nu ai greșit, notează unul dintre următoarele răspunsuri:
   • Dacă ecuația dvs. combinată nu are variabile și nu este adevărată (cum ar fi 2 = 7) atunci există Nici o soluție care se menține pentru ambele ecuații. (Dacă graficați ambele ecuații, veți vedea că sunt paralele și nu se intersectează niciodată).
   • Dacă ecuația dvs. combinată nu are variabile și este adevărată (cum ar fi 0 = 0), atunci există un număr infinit de soluții. Cele două ecuații sunt de fapt identice. (Dacă plasați acestea într-un grafic, veți vedea că se suprapun complet unul pe celălalt).

Metoda 3 din 3: Graficați ecuațiile

1. Folosiți această metodă numai atunci când este specificat. Cu excepția cazului în care utilizați un computer sau un calculator grafic, multe sisteme de ecuații pot fi rezolvate doar aproximativ folosind această metodă. Profesorul dvs. sau manualul de matematică vă pot cere să utilizați această metodă, deci probabil că sunteți familiarizați cu ecuațiile grafice, cum ar fi liniile. De asemenea, puteți utiliza această metodă pentru a verifica dacă răspunsurile dvs. din oricare dintre celelalte metode sunt corecte.
   • Ideea de bază este că graficezi ambele ecuații și determini punctul în care se intersectează. Valorile x și y în acest moment dau valoarea lui x și valoarea lui în sistemul de ecuații.
2. Rezolvați ambele ecuații pentru y. Păstrați cele două ecuații separate și folosiți algebra pentru a converti fiecare ecuație în forma „y = __x + __”. De exemplu:
   • Prima ecuație este: 2x + y = 5. Schimbați acest lucru în: y = -2x + 5.
   • A doua ecuație este: -3x + 6y = 0. Schimbați acest lucru în 6y = 3x + 0, și simplifică la y = ½x + 0.
   • Sunt ambele ecuații identice, atunci întreaga linie devine un „punct de intersecție”. Scrie: soluții infinite.
3. Desenați un sistem de coordonate. Desenați o „axă y” verticală și o „axă x” orizontală pe o foaie de hârtie milimetrică. Începeți de la punctul în care liniile se intersectează și etichetați numerele 1, 2, 3, 4 etc. în sus pe axa y și dreapta din nou de-a lungul axei x. Etichetați numerele -1, -2 etc. de-a lungul axei y în jos și spre stânga de-a lungul axei x.
   • Dacă nu aveți hârtie milimetrică, utilizați o riglă pentru a vă asigura că numerele sunt uniform distanțate.
   • Dacă utilizați numere mari sau zecimale, poate fi necesar să scalați graficul. (De exemplu 10, 20, 30 sau 0,1, 0,2, 0,3 în loc de 1, 2, 3).
4. Desenați intersecția y pentru fiecare linie. Odată ce ai o ecuație în formă y = __x + __ puteți începe graficul configurând un punct în care linia interceptează axa y. Aceasta este întotdeauna la o valoare y, egală cu ultimul număr din această ecuație.
   • În exemplele menționate anterior, o linie (y = -2x + 5) în axa y 5. Cealaltă linie (y = ½x + 0) trece prin punctul zero 0. (Acestea sunt punctele (0,5) și (0,0) din grafic).
   • Indicați fiecare dintre linii cu o culoare diferită, dacă este posibil.
5. Folosiți panta pentru a continua desenarea liniilor. În formă y = __x + __, este numărul pentru a x-a pantă în afara liniei. De fiecare dată când x este mărit cu unul, valoarea y va crește odată cu valoarea pantei. Folosiți aceste informații pentru a găsi punctul de pe grafic pentru fiecare linie când x = 1. (Alternativ, înlocuiți x = 1 pentru fiecare ecuație și rezolvați pentru y).
   • În exemplul nostru, linia are y = -2x + 5 o pantă de -2. La x = 1 linia 2 coboară jos din punctul x = 0. Desenați segmentul de linie între (0.5) și (1.3).
   • Regula y = ½x + 0are o pantă de ½. La x = 1, linia merge ½ sus din punctul x = 0. Desenați segmentul de linie între (0,0) și (1, ½).
   • Când liniile au aceeași pantă liniile nu se vor intersecta niciodată, deci nu există nicio soluție pentru sistemul de ecuații. Scrie: Nici o soluție.
6. Continuați graficarea liniilor până se intersectează. Opriți-vă și uitați-vă la diagrama dvs. Dacă liniile s-au încrucișat deja, treceți la pasul următor. În caz contrar, luați o decizie în funcție de ceea ce fac liniile:
   • Pe măsură ce liniile se deplasează unul către celălalt, continuați să desenați puncte în acea direcție.
   • Dacă liniile se îndepărtează una de cealaltă, mergeți înapoi și trageți puncte în cealaltă direcție, începând de la x = -1.
   • Dacă liniile nu sunt nicăieri apropiate unele de altele, sari înainte și trasează puncte mai îndepărtate, cum ar fi x = 10.
7. Găsiți răspunsul la intersecția liniilor. Odată ce cele două linii se intersectează, valorile x și y în acel punct reprezintă soluția la problemă. Dacă aveți noroc, răspunsul va fi un număr întreg. De exemplu, în exemplele noastre, cele două linii se intersectează (2,1) la fel este și răspunsul tău x = 2 și y = 1. În unele sisteme de ecuație, liniile se vor intersecta la o valoare între două numere întregi și, cu excepția cazului în care graficul dvs. este extrem de precis, va fi dificil de spus unde este acesta. Dacă acesta este cazul, puteți da un răspuns de genul: „x este între 1 și 2”. De asemenea, puteți utiliza metoda de substituție sau metoda de eliminare pentru a găsi răspunsul exact.

sfaturi

• Vă puteți verifica munca introducând răspunsurile înapoi în ecuațiile originale. Dacă ecuațiile sunt adevărate (de exemplu, 3 = 3), atunci răspunsul dvs. este corect.
• În metoda de eliminare, uneori trebuie să multiplicați o ecuație cu un număr negativ pentru a elimina o variabilă.

Avertizări

• Aceste metode nu pot fi utilizate dacă aveți de-a face cu un număr de putere, cum ar fi x. Pentru a afla mai multe despre ecuațiile de acest tip, veți avea nevoie de un ghid pentru pătrarea factorilor cu două variabile.