Analizați ecuațiile pătratice în factori - Sfaturi

Conţinut

Pași
Sfat
De ce ai nevoie

În matematică, analiza factorilor este de a găsi numere sau expresii cu produsul unui anumit număr sau ecuație. Analiza factorială este o abilitate utilă de învățat pentru rezolvarea problemelor algebrice de bază: capacitatea de a factoriza bine este aproape critică atunci când vine vorba de lucru. cu ecuații algebrice sau alte forme polinomiale. Analiza factorială poate fi utilizată pentru a reduce expresiile algebrice, făcând problema mai simplă. Datorită acestuia, puteți chiar elimina anumite posibile răspunsuri mult mai repede decât rezolvarea manuală.

Pași

Metoda 1 din 3: Analizați numerele și expresiile algebrice de bază în factori

Înțelegeți definiția analizei factorilor atunci când aplicați la numere unice. Deși simplă din punct de vedere conceptual, în practică, aplicarea ecuațiilor complexe poate fi destul de provocatoare. Prin urmare, cea mai ușoară abordare conceptuală de analiză a factorilor este de a începe de la numere unice și apoi a trece la ecuații simple înainte de a continua cu aplicații mai avansate. Factor pentru un număr dat sunt numere cu produsul aceluiași număr. De exemplu, 1, 12, 2, 6, 3 și 4 sunt factori de 12, deoarece 1 × 12, 2 × 6 și 3 × 4 sunt egali cu 12.
- Cu alte cuvinte, factorii unui număr dat sunt numerele este împărțit după acel număr.
- Puteți găsi factorul complet de 60? Numărul 60 este utilizat în mai multe scopuri diferite (minute într-o oră, secunde într-un minut etc.) deoarece este divizibil cu multe numere.
  - Numărul 60 are următorii factori: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 și 60.
Înțelegeți că expresiile care conțin variabile pot fi de asemenea factorizate. Pe lângă numerele independente, variabilele cu coeficienți aritmetici pot fi, de asemenea, factorizate. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să găsim factorii coeficientului variabilei. Cunoașterea factorizării analizei este foarte utilă în transformarea ecuațiilor algebrice simple care conțin variabile.
- De exemplu, 12x poate fi rescris pentru a avea rezultate de 12 și x. Este posibil să scrieți 12x ca 3 (4x), 2 (6x) etc. și să utilizați orice factor se potrivește cel mai bine utilizării prevăzute pentru 12.
  - Puteți merge chiar și până la analiza 12x multe ori. Cu alte cuvinte, nu este nevoie să ne oprim la 3 (4x) sau 2 (6x) - putem analiza 4x și 6x pentru a obține 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)). Această formulă este echivalentă.
Aplicați proprietăți asociative ale multiplicării pentru a factoriza ecuațiile algebrice. Folosind cunoștințele dvs. de analiză atât a numerelor independente, cât și a coeficienților în factori, puteți simplifica ecuațiile algebrice simple prin găsirea factorilor comuni ai numerelor și variabilelor incluse în ecuație. Adesea, pentru ca ecuația să fie cât mai simplă posibil, vom încerca să găsim cel mai mare divizor comun. Această transformare simplă este posibilă datorită naturii asociative a înmulțirii - pentru fiecare număr a, b și c, avem: a (b + c) = ab + ac.
- Să luăm în considerare următorul exemplu de problemă. Pentru a calcula ecuația algebrică 12x + 6 într-un factor, mai întâi, găsim cel mai mare divizor comun al lui 12x și 6. 6 este cel mai mare număr cu care atât 12x cât și 6 sunt divizibile cu, deci putem transforma pur și simplu reduceți ecuația la 6 (2x + 1).
- Același proces se aplică ecuațiilor care poartă semne și fracții negative. De exemplu, x / 2 + 4 poate fi convertit pur și simplu la 1/2 (x + 8), iar -7x + -21 poate fi descompus la -7 (x + 3).
publicitate

Metoda 2 din 3: Analiza ecuațiilor pătratice în factori

Asigurați-vă că ecuația este în formă pătratică (ax + bx + c = 0). Ecuația pătratică are forma ax + bx + c = 0, unde a, b și c sunt constante și a este diferită de zero (rețineți că a Mai este egal cu 1 sau -1). Dacă ecuația cu o singură variabilă (x) conține unul sau mai mulți termeni care conțin pătratul lui x, puteți converti de obicei operatorul algebric de bază pe o parte a semnului egal la 0 și lăsați ax și așa mai departe. de cealaltă parte.
- De exemplu, ecuația algebrică 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 poate fi redusă la x + 6x + 9 = 0, care este o formă pătratică.
- Ecuații în care x are un exponent mai mare, cum ar fi x, x și așa mai departe. nu poate fi pătratic. Ele sunt pătratice, cuaternare, ... cu excepția cazului în care ecuația poate fi redusă prin eliminarea termenilor care conțin puterile lui 3 sau mai mult din x.
Cu ecuații pătratice, când a = 1, descompunem la (x + d) (x + e), unde d × e = c și d + e = b. Dacă ecuația pătratică are forma x + bx + c = 0 (cu alte cuvinte, dacă coeficientul lui x = 1), există posibilitatea (dar nu sigur) să putem folosi un calcul relativ rapid. este simplu să luați în calcul această ecuație. Găsiți două numere egale cu c și suma este egală cu b. După ce ați găsit d și e, înlocuiți-le cu următoarea expresie: (x + d) (x + e). Atunci când sunt multiplicate împreună, aceste două elemente ne oferă ecuația pătratică de mai sus - cu alte cuvinte, acestea sunt factori ai ecuației.
- Luați de exemplu ecuația pătratică x + 5x + 6 = 0. 3 și 2 au un produs de 6 și în același timp, au un total de 5. Prin urmare, putem converti pur și simplu ecuația în (x + 3) ( x + 2).
- Această soluție rapidă de bază va fi puțin diferită atunci când ecuația în sine este puțin diferită:
  - Dacă ecuația pătratică are forma x-bx + c, răspunsul dvs. va fi de forma: (x - _) (x - _).
  - Dacă are forma x + bx + c, răspunsul dvs. va fi: (x + _) (x + _).
  - Dacă este în x-bx-c, răspunsul dvs. va fi în forma (x + _) (x - _).
- Notă: în spații pot fi fracții sau zecimale. De exemplu, ecuația x + (21/2) x + 5 = 0 se descompune la (x + 10) (x + 1/2).
Dacă este posibil, efectuați analiza factorilor prin testare. Credeți sau nu, cu ecuația pătratică necomplicată, una dintre metodele acceptate de factorizare este pur și simplu să priviți problema și apoi să cântăriți toate răspunsurile posibile până când se găsește un rezultat. Răspuns corect. Este, de asemenea, cunoscut sub numele de metoda de testare.Dacă ecuația are forma ax + bx + c și a> 1, factorizarea dvs. va avea forma (dx +/- _) (ex +/- _), unde d și e sunt constante cealaltă nu este egală cu a. d sau e (sau ambele) Mai este egal cu 1, deși nu va fi neapărat. Dacă ambele sunt egale cu 1, ați fi folosit practic opera rapidă prezentată mai sus.
- Luați în considerare următorul exemplu de problemă. La prima vedere, 3x - 8x + 4 arată destul de intimidant. Cu toate acestea, odată ce vă dați seama că 3 are doar doi factori (3 și 1), problema devine mai ușoară, deoarece știm că răspunsul trebuie să aibă forma (3x +/- _) (x +/- _). În acest caz, înlocuirea -2 cu ambele spații oferă răspunsul corect. -2 × 3x = -6x și -2 × x = -2x. -6x și -2x total egal cu -8x. -2 × -2 = 4, prin urmare, se poate observa că elementele analizate între paranteze ne oferă ecuația inițială.
Rezolvați problema completând pătratul. În unele cazuri, ecuațiile pătratice pot fi înmulțite rapid și ușor folosind o identitate algebrică specială. Orice ecuație pătratică de forma x + 2xh + h = (x + h). Prin urmare, dacă în ecuație, b este de două ori rădăcina pătrată a lui c, ecuația poate fi descompusă în (x + (sqrt (c))).
- De exemplu, ecuația x + 6x + 9 ar funcționa pentru această formă. 3 este egal cu 9 și 3 × 2 este egal cu 6. Deci știm că forma de factorizare a acestei ecuații este (x + 3) (x + 3) sau (x + 3).
Rezolvați ecuațiile pătratice cu factori. Oricum, odată ce expresia pătratică a fost factorizată, puteți găsi un posibil răspuns la valoarea lui x dând fiecărui factor zero și rezolvându-l. Deoarece căutați valoarea lui x astfel încât ecuația să fie zero, orice x care determină un factor să fie zero va fi o posibilă soluție la acea ecuație.
- Reveniți la ecuația x + 5x + 6 = 0. Aceasta este descompusă la (x + 3) (x + 2) = 0. Când un factor este zero, întreaga ecuație devine zero. Soluțiile posibile ale lui x sunt numerele care fac ca (x + 3) și (x + 2) să fie egale cu 0, -3 și, respectiv, -2.
Verifică-ți răspunsurile - unele pot fi exotice! Când găsiți soluții posibile ale lui x, înlocuiți-le cu ecuația originală pentru a determina dacă sunt corecte sau nu. Uneori, răspunsul îl găsește nici o problema face ca ecuația originală să fie zero atunci când este înlocuită. Numim aceste soluții Exotic și eliminați-le.
- Să înlocuim -2 și -3 pentru x + 5x + 6 = 0. În primul rând, -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Da, deci -2 este o soluție validă a ecuației.
- Acum, să încercăm cu -3:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Acest lucru este adevărat și, prin urmare, -3 este, de asemenea, o soluție validă a ecuației.
publicitate

Metoda 3 din 3: Analizați alte tipuri de ecuații în factori

Dacă ecuația este sub forma a-b, descompuneți-o în (a + b) (a-b). Ecuația cu două variabile este analizată diferit decât ecuația pătratică fundamentală. Orice ecuație a-b în care a și b sunt diferite de zero va fi descompusă în (a + b) (a-b).
- De exemplu, ecuația 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).
Dacă ecuația are forma a + 2ab + b, descompuneți-o în (a + b). Rețineți că, dacă trinomul este sub forma a-2ab + b, forma de factorizare va diferi ușor: (a-b).
- Ecuațiile 4x + 8xy + 4y pot fi rescrise ca 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Acum vedem că este în forma corectă și putem spune cu încredere că forma de factorizare a acestei ecuații este (2x + 2y).
Dacă ecuația este sub forma a-b, descompuneți-o în (a-b) (a + ab + b). În cele din urmă, trebuie spus că ecuațiile ternare și chiar ecuațiile de ordin superior pot fi factorizate. Cu toate acestea, procesul de analiză va deveni rapid incredibil de complex.
- De exemplu, 8x - 27y se descompune la (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
publicitate

Sfat

a-b poate fi factorizat, iar a + b nu.
Amintiți-vă cum să factorizați constantele - ar putea ajuta.
Acordați atenție fracțiilor în procesul de factorizare, tratați-le corect și în mod corespunzător.
Cu tridentul x + bx + (b / 2), factorizarea acestuia ar fi (x + (b / 2)) (s-ar putea să întâlniți această situație în timp ce completați pătratul).
Amintiți-vă că a0 = 0 (proprietate înmulțită cu zero).