Conţinut

• Pași
• Metoda 1 din 3: Factorizarea unei ecuații
• Metoda 2 din 3: Folosirea formulei pătratice
• Metoda 3 din 3: Finalizarea pătratului
• sfaturi

O ecuație pătratică este o ecuație în care puterea cea mai mare a unei variabile este 2. Există trei moduri principale de a rezolva ecuațiile pătratice: dacă este posibil, luați în calcul ecuația pătratică, utilizați formula pătratică sau completați pătratul. Vrei să știi cum se fac toate acestea? Citiți mai departe.

Pași

Metoda 1 din 3: Factorizarea unei ecuații

1. 1 Adăugați toate elementele similare și transferați-le pe o parte a ecuației. Acesta va fi primul pas, adică ${ displaystyle x ^ {2}}$ în acest caz, ar trebui să rămână pozitiv. Adăugați sau scădeți toate valorile ${ displaystyle x ^ {2}}$, ${ displaystyle x}$ și constant, transferând totul într-o parte și lăsând 0 în cealaltă. Iată cum se face:
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {2} -11x-4 = 0}$
2. 2 Factorizați expresia. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați valorile ${ displaystyle x ^ {2}}$ (3), valori constante (-4), acestea trebuie multiplicate și formează -11. Iată cum se face:
   • ${ displaystyle 3x ^ {2}}$ are doar doi factori posibili: ${ displaystyle 3x}$ și ${ displaystyle x}$deci pot fi scrise între paranteze: ${ displaystyle (3x pm?) (x pm?) = 0}$.
   • În continuare, înlocuind factorii 4, găsim combinația care, atunci când este multiplicată, dă -11x. Puteți utiliza o combinație de 4 și 1 sau 2 și 2, deoarece ambele dau 4. Amintiți-vă că valorile trebuie să fie negative, deoarece avem -4.
   • Prin încercări și erori, veți obține combinația ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$... Când ne înmulțim, obținem ${ displaystyle 3x ^ {2} -12x + x-4}$... Prin conectare ${ displaystyle -12x}$ și ${ displaystyle x}$, obținem termenul mediu ${ displaystyle -11x}$pe care le căutam. Ecuația pătratică este factorizată.
   • De exemplu, să încercăm o combinație nepotrivită: (${ displaystyle (3x-2) (x + 2)}$ = ${ displaystyle 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$... Combinând, obținem ${ displaystyle 3x ^ {2} -4x-4}$... Deși factorii -2 și 2 se înmulțesc la -4, termenul mediu nu funcționează, pentru că am vrut să obținem ${ displaystyle -11x}$, dar nu ${ displaystyle -4x}$.
3. 3 Egalează fiecare expresie dintre paranteze la zero (ca ecuații separate). Așa găsim două semnificații ${ displaystyle x}$pentru care întreaga ecuație este egală cu zero, ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ = 0. Acum rămâne să echivalăm la zero fiecare dintre expresiile dintre paranteze. De ce? Ideea este că produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. La fel de ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ este zero, atunci fie (3x + 1), fie (x - 4) este zero. Scrie ${ displaystyle 3x + 1 = 0}$ și ${ displaystyle x-4 = 0}$.
4. 4 Rezolvați fiecare ecuație separat. Într-o ecuație pătratică, x are două semnificații. Rezolvați ecuațiile și scrieți valorile x:
   • Rezolvați ecuația 3x + 1 = 0
     • 3x = -1 ..... prin scăderea
     • 3x / 3 = -1/3 ..... prin împărțire
     • x = -1/3 ..... după simplificare
   • Rezolvați ecuația x - 4 = 0
     • x = 4 ..... prin scăderea
   • x = (-1/3, 4) ..... valori posibile, adică x = -1/3 sau x = 4.
5. 5 Verificați x = -1/3 conectând această valoare la (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4)? =? 0 ..... prin înlocuire
   • (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... după simplificare
   • (0) (- 4 1/3) = 0 ..... după multiplicare
   • 0 = 0, deci x = -1/3 este răspunsul corect.
6. 6 Verificați x = 4 conectând această valoare la (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ..... prin înlocuire
   • (13) (4 - 4)? =? 0 ..... după simplificare
   • (13) (0) = 0 ..... după multiplicare
   • 0 = 0, prin urmare x = 4 este răspunsul corect.
   • Astfel, ambele soluții sunt corecte.

Metoda 2 din 3: Folosirea formulei pătratice

1. 1 Combinați toți termenii și notați pe o parte a ecuației. Salvați valoarea ${ displaystyle x ^ {2}}$ pozitiv. Scrieți termenii în ordinea gradelor descrescătoare, deci termenul ${ displaystyle x ^ {2}}$ ortografiat mai întâi, apoi ${ displaystyle x}$ și apoi o constantă:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. 2 Scrieți formula rădăcinilor unei ecuații pătratice. Formula arată astfel: ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3. 3 Determinați valorile lui a, b și c într-o ecuație pătratică. Variabil A este coeficientul termenului x, b - membru x, c - constant. Pentru ecuația 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 și c = -8. Scrie pe hartie.
4. 4 Conectați valorile pentru a, b și c în ecuație. Cunoscând valorile celor trei variabile, le puteți conecta la ecuație după cum urmează:
   • {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 Contează-l. Înlocuiți valorile, simplificați argumentele pro și contra și înmulțiți sau păstrați termenii rămași:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 Simplificați rădăcina pătrată. Dacă rădăcina pătrată este un pătrat, obțineți un număr întreg. Dacă nu, simplificați-l la cea mai simplă valoare rădăcină. Dacă numărul este negativ, și sunteți sigur că trebuie să fie negativ, atunci rădăcinile vor fi complexe. În acest exemplu √ (121) = 11. Puteți scrie că x = (5 +/- 11) / 6.
7. 7 Găsiți soluții pozitive și negative. Dacă ați eliminat semnul rădăcină pătrată, puteți continua până când găsiți valori x pozitive și negative. Având (5 +/- 11) / 6, puteți scrie:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 Găsiți valori pozitive și negative. Doar numărați:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 Simplifica. Pentru a face acest lucru, pur și simplu împărțiți ambele la cel mai mare factor comun. Împărțiți prima fracție la 2, a doua la 6, se găsește x.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)

Metoda 3 din 3: Finalizarea pătratului

1. 1 Mutați toți termenii pe o parte a ecuației.A sau x trebuie să fie pozitiv. Acest lucru se face astfel:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • În această ecuație A: 2, b: -12,c: -9.
2. 2 Membru de transfer c (permanent) spre cealaltă parte. O constantă este un termen dintr-o ecuație care conține doar o valoare numerică, fără variabile.Mutați-l în partea dreaptă:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. 3 Împărțiți ambele părți la factor A sau x. Dacă x nu are coeficient, atunci este egal cu unul și acest pas poate fi omis. În exemplul nostru, împărțim toți membrii la 2:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2
4. 4 Divide b cu 2, pătrat și adăugați pe ambele părți. În exemplul nostru b este egal cu -6:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 5 Simplificați ambele părți. Păstrați termenii din stânga pentru a obține (x-3) (x-3) sau (x-3). Adăugați termenii la dreapta pentru a face 9/2 + 9 sau 9/2 + 18/2, adică 27/2.
6. 6 Extrageți rădăcina pătrată a ambelor părți. Rădăcina pătrată a lui (x-3) este pur și simplu (x-3). Rădăcina pătrată a lui 27/2 poate fi scrisă ca ± √ (27/2). Astfel, x - 3 = ± √ (27/2).
7. 7 Simplificați expresia radicală și găsiți x. Pentru a simplifica ± √ (27/2), găsiți pătratul perfect în numerele 27 și 2 sau factorii lor. În 27 există un pătrat complet de 9, deoarece 9 x 3 = 27. Pentru a deduce 9 din semnul rădăcină, luați rădăcina din acesta și scădeți 3 din semnul rădăcină. Lăsați 3 în numeratorii fracției sub semnul rădăcină, deoarece acest factor nu poate fi extras și lăsați 2 în partea de jos. Apoi, mutați constanta 3 din partea stângă a ecuației în partea dreaptă și scrieți cele două soluții pentru x:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)

sfaturi

• Dacă numărul de sub semnul rădăcină nu este un pătrat complet, atunci ultimii pași se efectuează ușor diferit. Iată un exemplu:
• După cum puteți vedea, semnul rădăcină nu a dispărut. În acest fel, termenii din numeratori nu pot fi combinați. Atunci nu are rost să împărțim plusul sau minusul. În schimb, împărțim orice factori comuni - dar numai dacă factorul comun constantei și coeficientul rădăcinii.