Conţinut

• Pași
• Partea 1 din 4: Cum se scrie o ecuație
• Partea 2 din 4: Cum se scrie algoritmul lui Euclid
• Partea 3 din 4: Cum să găsiți o soluție folosind algoritmul lui Euclid
• Partea 4 din 4: Găsiți alte soluții infinite

Pentru a rezolva o ecuație diofantină liniară, trebuie să găsiți valorile variabilelor „x” și „y”, care sunt numere întregi. O soluție întreagă este mai complexă decât de obicei și necesită un set specific de acțiuni. Mai întâi, trebuie să calculați cel mai mare divizor comun (GCD) al coeficienților și apoi să găsiți o soluție. După ce ați găsit o soluție întreagă la o ecuație liniară, puteți utiliza un model simplu pentru a găsi un număr infinit de alte soluții.

Pași

Partea 1 din 4: Cum se scrie o ecuație

1. 1 Scrieți ecuația în formă standard. O ecuație liniară este o ecuație în care exponenții variabilelor nu depășesc 1. Pentru a rezolva o astfel de ecuație liniară, scrieți-o mai întâi în formă standard. Forma standard a unei ecuații liniare arată astfel: ${ displaystyle Ax + By = C}$, Unde ${ displaystyle A, B}$ și ${ displaystyle C}$ - numere întregi.
   • Dacă ecuația este dată într-o formă diferită, aduceți-o la forma standard folosind operații algebrice de bază. De exemplu, având în vedere ecuația ${ displaystyle 23x + 4y-7x = -3y + 15}$... Dați termeni similari și scrieți ecuația astfel: ${ displaystyle 16x + 7y = 15}$.
2. 2 Simplificați ecuația (dacă este posibil). Când scrieți ecuația în formă standard, uitați-vă la coeficienți ${ displaystyle A, B}$ și ${ displaystyle C}$... Dacă aceste cote au un GCD, împărțiți toate cele trei cote la acesta. Soluția la o astfel de ecuație simplificată va fi, de asemenea, soluția la ecuația inițială.
   • De exemplu, dacă toți cei trei coeficienți sunt pari, împărțiți-i cu cel puțin 2. De exemplu:
     • ${ displaystyle 42x + 36y = 48}$ (toți membrii sunt divizibili cu 2)
     • ${ displaystyle 21x + 18y = 24}$ (acum toți membrii sunt divizibili cu 3)
     • ${ displaystyle 7x + 6y = 8}$ (această ecuație nu mai poate fi simplificată)
3. 3 Verificați dacă ecuația poate fi rezolvată. În unele cazuri, puteți afirma imediat că ecuația nu are soluții. Dacă coeficientul „C” nu este divizibil cu GCD al coeficienților „A” și „B”, ecuația nu are soluții.
   • De exemplu, dacă ambii coeficienți ${ displaystyle A}$ și ${ displaystyle B}$ sunt egale, atunci coeficientul ${ displaystyle C}$ trebuie să fie uniform. Dar dacă ${ displaystyle C}$ ciudat, atunci nu există nicio soluție.
     • Ecuația ${ displaystyle 2x + 4y = 21}$ fără soluții întregi.
     • Ecuația ${ displaystyle 5x + 10y = 17}$ nu există soluții întregi, deoarece partea stângă a ecuației este divizibilă cu 5, iar partea dreaptă nu.

Partea 2 din 4: Cum se scrie algoritmul lui Euclid

1. 1 Înțelegeți algoritmul lui Euclid. Este o serie de diviziuni repetate în care restul anterior este folosit ca următorul divizor. Ultimul divizor care împarte numerele integral este cel mai mare divizor comun (GCD) dintre cele două numere.
   • De exemplu, să găsim GCD al numerelor 272 și 36 folosind algoritmul lui Euclid:
     • ${ displaystyle 272 = 7 * 36 + 20}$ - Împarte numărul mai mare (272) la cel mai mic (36) și fii atent la restul (20);
     • ${ displaystyle 36 = 1 * 20 + 16}$ - împărțiți divizorul anterior (36) la restul anterior (20). Rețineți noul reziduu (16);
     • ${ displaystyle 20 = 1 * 16 + 4}$ - împărțiți divizorul anterior (20) la restul anterior (16). Rețineți noul reziduu (4);
     • ${ displaystyle 16 = 4 * 4 + 0}$ - Împărțiți divizorul anterior (16) la restul anterior (4). Deoarece restul este 0, putem spune că 4 este CMD al celor două numere originale 272 și 36.
2. 2 Aplicați algoritmul lui Euclid la coeficienții „A” și „B”. Când scrieți ecuația liniară în formă standard, determinați coeficienții „A” și „B” și apoi aplicați algoritmul lui Euclid pentru a găsi GCD. De exemplu, având în vedere o ecuație liniară ${ displaystyle 87x-64y = 3}$.
   • Iată algoritmul lui Euclid pentru coeficienții A = 87 și B = 64:
     • ${ displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ displaystyle 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ displaystyle 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 Găsiți cel mai mare factor comun (GCD). Deoarece ultimul divizor a fost 1, GCD 87 și 64 sunt 1. Astfel, 87 și 64 sunt numere prime unele față de altele.
4. 4 Analizează rezultatul. Când găsiți coeficienții GCD ${ displaystyle A}$ și ${ displaystyle B}$, comparați-l cu coeficientul ${ displaystyle C}$ ecuația originală. Dacă ${ displaystyle C}$ divizibil cu mcd ${ displaystyle A}$ și ${ displaystyle B}$, ecuația are o soluție întreagă; altfel ecuația nu are soluții.
   • De exemplu, ecuația ${ displaystyle 87x-64y = 3}$ poate fi rezolvat deoarece 3 este divizibil cu 1 (mcd = 1).
   • De exemplu, să presupunem GCD = 5. 3 nu este divizibil în mod egal cu 5, deci această ecuație nu are soluții întregi.
   • Așa cum se arată mai jos, dacă o ecuație are o soluție întreagă, ea are și un număr infinit de alte soluții întregi.

Partea 3 din 4: Cum să găsiți o soluție folosind algoritmul lui Euclid

1. 1 Numerați pașii pentru calcularea GCD. Pentru a găsi soluția la o ecuație liniară, trebuie să utilizați algoritmul euclidian ca bază pentru procesul de substituție și simplificare.
   • Începeți prin numerotarea pașilor pentru calcularea GCD. Procesul de calcul arată astfel:
     • ${ displaystyle { text {Pasul 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ displaystyle { text {Pasul 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ displaystyle { text {Pasul 3}}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ displaystyle { text {Pasul 4}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ displaystyle { text {Pasul 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ displaystyle { text {Pasul 6}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ displaystyle { text {Pasul 7}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 Acordați atenție ultimului pas, unde există un rest. Rescrieți ecuația pentru acest pas pentru a izola restul.
   • În exemplul nostru, ultimul pas cu rest este pasul 6. Restul este 1. Rescrieți ecuația din pasul 6 după cum urmează:
     • ${ displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 Izolați restul pasului anterior. Acest proces este un „pas în sus” pas cu pas. De fiecare dată când veți izola restul în ecuația din pasul anterior.
   • Izolați restul ecuației din Pasul 5:
     • ${ displaystyle 2 = 5- (1 * 3)}$ sau ${ displaystyle 2 = 5-3}$
4. 4 Înlocuiți și simplificați. Observați că ecuația din Pasul 6 conține numărul 2, iar în ecuația din Pasul 5, numărul 2 este izolat. Deci, în loc de „2” în ecuația din pasul 6, înlocuiți expresia din pasul 5:
   • ${ displaystyle 1 = 3-2}$ (ecuația pasului 6)
   • ${ displaystyle 1 = 3- (5-3)}$ (în loc de 2, a fost substituită o expresie)
   • ${ displaystyle 1 = 3-5 + 3}$ (paranteze deschise)
   • ${ displaystyle 1 = 2 (3) -5}$ (simplificat)
5. 5 Repetați procesul de înlocuire și simplificare. Repetați procesul descris, deplasându-vă prin algoritmul euclidian în ordine inversă. De fiecare dată când veți rescrie ecuația din pasul anterior și o veți conecta la ultima ecuație pe care o obțineți.
   • Ultimul pas pe care l-am analizat a fost pasul 5. Deci, treceți la pasul 4 și izolați restul în ecuația pentru acel pas:
     • ${ displaystyle 3 = 18- (3 * 5)}$
   • Înlocuiți această expresie cu „3” în ultima ecuație:
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 Continuați cu procesul de substituție și simplificare. Acest proces va fi repetat până când ajungeți la pasul inițial al algoritmului euclidian. Scopul procesului este de a scrie ecuația cu coeficienții 87 și 64 din ecuația inițială care trebuie rezolvată. În exemplul nostru:
   • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (a înlocuit expresia de la pasul 3)
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ displaystyle 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ displaystyle 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (a substituit expresia de la pasul 2)
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (a înlocuit expresia de la pasul 1)
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ displaystyle 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 Rescrieți ecuația rezultată în conformitate cu coeficienții originali. Când reveniți la primul pas al algoritmului euclidian, veți vedea că ecuația rezultată conține doi coeficienți ai ecuației inițiale. Rescrieți ecuația astfel încât ordinea termenilor săi să se potrivească cu coeficienții ecuației inițiale.
   • În exemplul nostru, ecuația originală ${ displaystyle 87x-64y = 3}$... Prin urmare, rescrieți ecuația rezultată astfel încât coeficienții să fie aliniați.Acordați o atenție specială coeficientului „64”. În ecuația originală, acest coeficient este negativ, iar în algoritmul euclidian, este pozitiv. Prin urmare, factorul 34 trebuie făcut negativ. Ecuația finală va fi scrisă astfel:
     • ${ displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 Aplicați multiplicatorul adecvat pentru a găsi o soluție. Rețineți că în exemplul nostru, GCD = 1, deci ecuația finală este 1. Dar ecuația inițială (87x-64y) este 3. Prin urmare, toți termenii din ecuația finală trebuie să fie înmulțiți cu 3 pentru a obține soluția:
   • ${ displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 Scrieți soluția întreagă la ecuație. Numerele care sunt înmulțite cu coeficienții ecuației originale sunt soluțiile la acea ecuație.
   • În exemplul nostru, scrieți soluția ca o pereche de coordonate: ${ displaystyle (x, y) = (- 75, -102)}$.

Partea 4 din 4: Găsiți alte soluții infinite

1. 1 Înțelegeți că există un număr infinit de soluții. Dacă o ecuație liniară are o soluție întreagă, atunci trebuie să aibă infinit de multe soluții întregi. Iată o dovadă rapidă (în formă algebrică):
   • ${ displaystyle Ax + By = C}$
   • ${ displaystyle A (x + B) + B (y-A) = C}$ (dacă adăugați „B” la „x” și scădeți „A” din „y”, valoarea ecuației inițiale nu se va schimba)
2. 2 Înregistrați valorile originale x și y. Șablonul pentru calcularea următoarelor soluții (infinite) începe cu singura soluție pe care ați găsit-o deja.
   • În exemplul nostru, soluția este o pereche de coordonate ${ displaystyle (x, y) = (- 75, -102)}$.
3. 3 Adăugați factorul „B” la valoarea „x”. Faceți acest lucru pentru a găsi noua valoare x.
   • În exemplul nostru, x = -75 și B = -64:
     • ${ displaystyle x = -75 + (- 64) = - 139}$
   • Astfel, noua valoare „x”: x = -139.
4. 4 Scădeți factorul „A” din valoarea „y”. Pentru ca valoarea ecuației inițiale să nu se schimbe, atunci când adăugați un număr la „x”, trebuie să scădeți un alt număr din „y”.
   • În exemplul nostru, y = -102 și A = 87:
     • ${ displaystyle y = -102-87 = -189}$
   • Astfel, noua valoare pentru „y”: y = -189.
   • Noua pereche de coordonate va fi scrisă astfel: ${ displaystyle (x, y) = (- 139, -189)}$.
5. 5 Verificați soluția. Pentru a verifica dacă noua pereche de coordonate este o soluție la ecuația inițială, conectați valorile la ecuație.
   • ${ displaystyle 87x-64y = 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ displaystyle 3 = 3}$
   • Deoarece egalitatea este îndeplinită, decizia este corectă.
6. 6 Scrieți expresii pentru a găsi multe soluții. Valorile „x” vor fi egale cu soluția originală plus orice multiplu al factorului „B”. Acesta poate fi scris ca următoarea expresie:
   • x (k) = x + k (B), unde „x (k)” este setul valorilor „x”, iar „x” este valoarea originală (prima) a „x” pe care ați găsit-o.
     • În exemplul nostru:
     • ${ displaystyle x (k) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A), unde y (k) este setul de valori y și y este valoarea originală (prima) y pe care ați găsit-o.
     • În exemplul nostru:
     • ${ displaystyle y (k) = - 102-87k}$