Conţinut

• Pași
• Partea 1 din 2: Noțiunile de bază
• Partea 2 din 2: Transformarea matricei extinse pentru rezolvarea SLAE-urilor
• sfaturi

Un sistem de ecuații este un set de două sau mai multe ecuații care au un set comun de necunoscute și, prin urmare, o soluție comună. Graficul sistemului de ecuații liniare este două linii drepte, iar soluția sistemului este punctul de intersecție a acestor drepte. Pentru a rezolva astfel de sisteme de ecuații liniare, este util și convenabil să se utilizeze matrici.

Pași

Partea 1 din 2: Noțiunile de bază

1. 1 Terminologie. Sistemele de ecuații liniare sunt compuse din diferite componente. O variabilă este notată printr-un caracter alfabetic (de obicei x sau y) și înseamnă un număr pe care încă nu îl cunoașteți și pe care trebuie să-l găsiți. O constantă este un anumit număr care nu își schimbă valoarea.Coeficientul este numărul din fața variabilei, adică numărul cu care variabila este înmulțită.
   • De exemplu, pentru o ecuație liniară, 2x + 4y = 8, x și y sunt variabile, 8 este constant, iar numerele 2 și 4 sunt coeficienți.
2. 2 Formular pentru un sistem de ecuații liniare. Un sistem de ecuații algebrice liniare (SLAE) cu două variabile poate fi scris astfel: ax + by = p, cx + dy = q. Orice constante (p, q) pot fi zero, dar fiecare dintre ecuații trebuie să conțină cel puțin o variabilă (x, y).
3. 3 Expresii matriciale. Orice SLAE poate fi scris sub formă de matrice și apoi, folosind proprietățile algebrice ale matricilor, îl rezolvă. Când scriem un sistem de ecuații sub formă de matrice, A reprezintă coeficienții matricei, C reprezintă matrici constante, iar X denotă o matrice necunoscută.
   • De exemplu, SLAE de mai sus poate fi rescris în următoarea formă matricială: A x X = C.
4. 4 Matrice extinsă. Matricea extinsă se obține prin transferarea matricei de termeni liberi (constante) în partea stângă. Dacă aveți două matrice, A și C, atunci matricea extinsă va arăta astfel:
   • De exemplu, pentru următorul sistem de ecuații liniare:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     Matricea extinsă va fi 2x3 și va arăta astfel:

Partea 2 din 2: Transformarea matricei extinse pentru rezolvarea SLAE-urilor

1. 1 Operații elementare. Puteți efectua anumite operații pe o matrice, obținând astfel o matrice echivalentă cu cea originală. Astfel de operații sunt numite elementare. De exemplu, pentru a rezolva o matrice 2x3, trebuie să efectuați operații de rând pentru a aduce matricea într-o formă triunghiulară. Astfel de operațiuni pot fi:
   • permutarea a două linii.
   • înmulțind un șir cu un număr diferit de zero.
   • înmulțind un șir și adăugându-l la altul.
2. 2 Înmulțirea celei de-a doua linii cu un număr diferit de zero. Dacă doriți zero pe a doua linie, puteți înmulți linia pentru a o face posibilă.
   • De exemplu, dacă aveți o matrice ca aceasta:
     
     
     Puteți păstra prima linie și o puteți folosi pentru a obține zero pe a doua linie. Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi să multiplicați a doua linie cu 2:
3. 3 Înmulțiți-vă din nou. Pentru a obține zero pentru primul rând, poate fi necesar să vă înmulțiți din nou folosind manipulări similare.
   • În exemplul de mai sus, trebuie să multiplicați a doua linie cu -1:
     
     
     După multiplicare, matricea va arăta astfel:
4. 4 Adăugați prima linie la a doua. Adăugați rândurile pentru a obține un zero în locul primei coloane și al doilea rând.
   • În exemplul nostru, adăugați ambele linii pentru a obține următoarele:
5. 5 Scrieți un nou sistem de ecuații liniare pentru o matrice triunghiulară. Odată ce ați obținut matricea triunghiulară, puteți reveni la SLAE. Prima coloană a matricei corespunde variabilei necunoscute x, iar a doua corespunde variabilei necunoscute y. A treia coloană corespunde interceptării ecuației.
   • Pentru exemplul nostru, noul sistem de ecuații liniare va lua forma:
6. 6 Rezolvați ecuația pentru una dintre variabile. În noul SLAE, determinați ce variabilă este cel mai ușor de găsit și de rezolvat ecuația.
   • În exemplul nostru, este mai convenabil să se rezolve de la sfârșit, adică de la ultima ecuație la prima, deplasându-se de jos în sus. Din a doua ecuație, putem găsi cu ușurință o soluție pentru y, deoarece am scăpat de x, deci y = 2.
7. 7 Găsiți a doua necunoscută prin metoda de substituție. După ce ați găsit una dintre variabile, o puteți conecta la a doua ecuație pentru a găsi a doua variabilă.
   • În exemplul nostru, înlocuiți y cu 2 în prima ecuație pentru a găsi x-ul necunoscut:

sfaturi

• Elementele matrice sunt denumite în mod obișnuit scalari.
• Pentru a rezolva o matrice 2x3, trebuie să efectuați operații de rând elementare. Nu puteți efectua aceste operații pe coloane.