Conţinut

• Pași
• sfaturi

Graficul unei ecuații pătratice de forma ax + bx + c sau a (x - h) + k este o parabolă (curbă în formă de U). Pentru a trasa o astfel de ecuație, trebuie să găsiți vârful parabolei, direcția acesteia și punctele de intersecție cu axele X și Y. Dacă vi se oferă o ecuație pătratică relativ simplă, atunci puteți înlocui diferite valori ale „x „în el, găsiți valorile corespunzătoare ale„ y ”și construiți un grafic ...

Pași

1. 1 Ecuația pătratică poate fi scrisă într-o formă standard și într-o formă non-standard. Puteți utiliza orice fel de ecuație pentru a trasa o ecuație pătratică (metoda de trasare este ușor diferită). De regulă, în probleme, ecuațiile pătratice sunt date într-o formă standard, dar acest articol vă va spune despre ambele tipuri de scriere a unei ecuații pătratice.
   • Forma standard: f (x) = ax + bx + c, unde a, b, c sunt numere reale și a ≠ 0.
     • De exemplu, două ecuații ale formei standard: f (x) = x + 2x + 1 și f (x) = 9x + 10x -8.
   • Formă non-standard: f (x) = a (x - h) + k, unde a, h, k sunt numere reale și a ≠ 0.
     • De exemplu, două ecuații de formă nestandard: f (x) = 9 (x - 4) + 18 și -3 (x - 5) + 1.
   • Pentru a trasa o ecuație pătratică de orice fel, trebuie mai întâi să găsiți vârful parabolei, care are coordonate (h, k). Coordonatele vârfului parabolei în ecuațiile formei standard sunt calculate prin formulele: h = -b / 2a și k = f (h); coordonatele vârfului parabolei în ecuații de formă nestandardă pot fi obținute direct din ecuații.
2. 2 Pentru a reprezenta graficul, trebuie să găsiți valorile numerice ale coeficienților a, b, c (sau a, h, k). În majoritatea problemelor, ecuațiile pătratice sunt date cu valori numerice ale coeficienților.
   • De exemplu, în ecuația standard f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
   • De exemplu, într-o ecuație nestandard f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.
3. 3 Calculați h în ecuația standard (în non-standard este deja dat) folosind formula: h = -b / 2a.
   • În exemplul nostru de ecuație standard, f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
   • În exemplul nostru de ecuație nestandard, f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.
4. 4 Calculați k în ecuația standard (în non-standard este deja dat). Amintiți-vă că k = f (h), adică puteți găsi k substituind valoarea găsită a h în loc de „x” în ecuația originală.
   • Ați constatat că h = -4 (pentru ecuația standard). Pentru a calcula k, înlocuiți această valoare cu „x”:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Într-o ecuație nestandard, k = 12.
5. 5 Desenați un vârf cu coordonate (h, k) pe planul de coordonate. h este reprezentat de-a lungul axei X și k este reprezentat de-a lungul axei Y. Vârful unei parabole este fie punctul cel mai de jos (dacă parabola este îndreptată în sus), fie punctul cel mai înalt (dacă parabola este îndreptat în jos).
   • În exemplul nostru de ecuație standard, vârful are coordonate (-4, 7). Desenați acest punct pe planul de coordonate.
   • În exemplul nostru de ecuație personalizată, vârful are coordonate (5, 12). Desenați acest punct pe planul de coordonate.
6. 6 Desenați axa de simetrie a parabolei (opțional). Axa de simetrie trece prin vârful parabolei paralel cu axa Y (adică strict verticală). Axa de simetrie împarte parabola în jumătate (adică parabola este simetrică în oglindă în jurul acestei axe).
   • În exemplul nostru de ecuație standard, axa de simetrie este o linie dreaptă paralelă cu axa Y și care trece prin punctul (-4, 7). Deși această linie nu face parte din parabolă în sine, oferă o idee despre simetria parabolei.
7. 7 Determinați direcția parabolei - în sus sau în jos. Acest lucru este foarte ușor de făcut.Dacă coeficientul „a” este pozitiv, atunci parabola este îndreptată în sus, iar dacă coeficientul „a” este negativ, atunci parabola este direcționată în jos.
   • În exemplul nostru de ecuație standard, f (x) = 2x + 16x + 39, parabola este îndreptată în sus, deoarece a = 2 (coeficient pozitiv).
   • În exemplul nostru de ecuație nestandard f (x) = 4 (x - 5) + 12, parabola este, de asemenea, îndreptată în sus, deoarece a = 4 (coeficient pozitiv).
8. 8 Dacă este necesar, localizați și trasați interceptarea x. Aceste puncte te vor ajuta foarte mult atunci când desenezi o parabolă. Pot exista două, una sau nici una (dacă parabola este îndreptată în sus și vertexul său se află deasupra axei X sau dacă parabola este îndreptată în jos și vârful său se află sub axa X). Pentru a calcula coordonatele punctelor de intersecție cu axa X, procedați după cum urmează:
   • Setați ecuația la zero: f (x) = 0 și rezolvați-o. Această metodă funcționează cu ecuații pătratice simple (în special cele non-standard), dar poate fi extrem de dificilă pentru ecuațiile complexe. În exemplul nostru:
     • f (x) = 4 (x - 12) - 4
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • √1 = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. Punctele de intersecție a parabolei cu axa X au coordonatele (11,0) și (13,0).
   • Factorizați ecuația pătratică de formă standard: ax + bx + c = (dx + e) ​​(fx + g), unde dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = c. Apoi setați fiecare binom la 0 și găsiți valorile pentru „x”. De exemplu:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • În acest caz, există un singur punct de intersecție a parabolei cu axa x cu coordonate (-1,0), deoarece la x + 1 = 0 x = -1.
   • Dacă nu puteți factoriza ecuația, rezolvați-o folosind formula pătratică: x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a.
     • De exemplu: -5x + 1x + 10.
     • x = (-1 +/- √ (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- √ (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- √ (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) și (-15,18 / -10). Punctele de intersecție a parabolei cu axa X au coordonate (-1,318,0) și (1,518,0).
     • În exemplul nostru, ecuațiile formei standard 2x + 16x + 39:
     • x = (-16 +/- √ (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- √ (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- √ (-56) / - 10
     • Deoarece este imposibil să se extragă rădăcina pătrată a unui număr negativ, în acest caz parabola nu intersectează axa X.
9. 9 Localizați și trasați interceptarea y după cum este necesar. Este foarte ușor - conectați x = 0 la ecuația originală și găsiți valoarea pentru „y”. Interceptarea Y este întotdeauna aceeași. Notă: în ecuațiile formei standard, punctul de intersecție are coordonate (0, s).
   • De exemplu, parabola ecuației pătratice 2x + 16x + 39 se intersectează cu axa Y în punctul cu coordonatele (0, 39), deoarece c = 39. Dar acest lucru poate fi calculat:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39, adică parabola acestei ecuații pătratice intersectează axa Y în punctul cu coordonatele (0, 39).
   • În exemplul nostru de ecuație nestandard 4 (x - 5) + 12, interceptarea y se calculează după cum urmează:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112, adică parabola acestei ecuații pătratice intersectează axa Y în punctul cu coordonatele (0, 112).
10. 10 Ați găsit (și ați trasat) vârful parabolei, direcția acesteia și punctele de intersecție cu axele X și Y. Puteți construi parabole din aceste puncte sau găsiți și trage puncte suplimentare și abia apoi construiți o parabolă. Pentru a face acest lucru, conectați mai multe valori x (de ambele părți ale vârfului) în ecuația originală pentru a calcula valorile y corespunzătoare.
    • Să revenim la ecuația x + 2x + 1. Știți deja că punctul de intersecție al graficului acestei ecuații cu axa X este punctul cu coordonatele (-1,0). Dacă parabola are un singur punct de intersecție cu axa X, atunci acesta este vârful parabolei care se află pe axa X. În acest caz, un punct nu este suficient pentru a construi o parabolă regulată. Deci, găsiți câteva puncte în plus.
      • Să spunem x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Coordonatele punctului: (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Coordonatele punctului: (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Coordonatele punctului: (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Coordonatele punctului: (-3,4).
      • Desenați aceste puncte pe planul de coordonate și desenați o parabolă (conectați punctele cu o curbă în U). Vă rugăm să rețineți că parabola este absolut simetrică - orice punct de pe o ramură a parabolei poate fi oglindită (în raport cu axa de simetrie) pe cealaltă ramură a parabolei. Acest lucru vă va economisi timp, deoarece nu este nevoie să calculați coordonatele punctelor de pe ambele ramuri ale parabolei.

sfaturi

• Rotunjiți numerele fracționate (dacă aceasta este cerința profesorului) - așa construiți o parabolă corectă.
• Dacă în f (x) = ax + bx + c coeficienții b sau c sunt egali cu zero, atunci nu există termeni cu acești coeficienți în ecuație.De exemplu, 12x + 0x + 6 devine 12x + 6 deoarece 0x este 0.