Conţinut

• Pași
• Partea 1 din 3: Extragerea rădăcinii cubului cu un exemplu simplu
• Partea 2 din 3: Estimarea rădăcinii cubului
• Partea 3 din 3: Explicarea procesului de calcul descris
• sfaturi
• Avertizări
• De ce ai nevoie

Dacă aveți un calculator la îndemână, puteți extrage cu ușurință rădăcina cubică a oricărui număr. Dar dacă nu aveți un calculator sau doriți doar să impresionați pe alții, extrageți manual rădăcina cubului. Pentru majoritatea oamenilor, procesul descris aici va părea destul de complicat, dar cu practica va deveni mult mai ușor să extrageți rădăcinile cubului. Înainte de a începe să citiți acest articol, amintiți-vă operațiile matematice de bază și calculele cu numere într-un cub.

Pași

Partea 1 din 3: Extragerea rădăcinii cubului cu un exemplu simplu

1. 1 Notați sarcina. Extracția manuală a rădăcinii cubului este similară cu divizarea lungă, dar cu unele nuanțe. În primul rând, scrieți sarcina într-o formă specifică.
   • Notați numărul din care doriți să extrageți rădăcina cubului. Împărțiți numărul în grupuri de trei cifre și începeți să numărați cu un punct zecimal. De exemplu, trebuie să extrageți rădăcina cubică de 10. Scrieți numărul astfel: 10.000.000. Se utilizează zerouri suplimentare pentru a îmbunătăți precizia rezultatului.
   • Desenați un semn rădăcină lângă și deasupra numărului. Imaginați-vă că acestea sunt liniile orizontale și verticale pe care le desenați în diviziune lungă. Singura diferență este forma celor două personaje.
   • Plasați un punct zecimal deasupra liniei orizontale. Faceți acest lucru direct deasupra punctului zecimal al numărului original.
2. 2 Amintiți-vă rezultatele cubului întregilor. Acestea vor fi utilizate în calcule.
   • ${ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$
   • ${ displaystyle 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8}$
   • ${ displaystyle 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27}$
   • ${ displaystyle 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64}$
   • ${ displaystyle 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125}$
   • ${ displaystyle 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216}$
   • ${ displaystyle 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343}$
   • ${ displaystyle 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512}$
   • ${ displaystyle 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729}$
   • ${ displaystyle 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000}$
3. 3 Găsiți prima cifră a răspunsului. Selectați un cub întreg care este cel mai apropiat, dar mai mic decât primul grup de trei cifre.
   • În exemplul nostru, primul grup de trei cifre este 10. Găsiți cel mai mare cub care este mai mic de 10. Cubul respectiv este 8, iar rădăcina cubică a lui 8 este 2.
   • Deasupra liniei orizontale deasupra numărului 10, scrieți numărul 2. Apoi notați valoarea operației ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8 sub 10. Desenați o linie și scădeți 8 din 10 (ca în divizarea lungă). Rezultatul este 2 (acesta este primul rest).
   • Astfel, ați găsit primul număr al răspunsului. Luați în considerare dacă rezultatul dat este suficient de precis. În majoritatea cazurilor, acesta va fi un răspuns foarte dur. Cub rezultatul pentru a afla cât de aproape este de numărul original. În exemplul nostru: ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8, care nu este foarte aproape de 10, deci calculele trebuie continuate.
4. 4 Găsiți următoarea cifră a răspunsului. Adăugați al doilea grup de trei numere la primul rest și trageți o linie verticală la stânga numărului rezultat. Folosind numărul rezultat, veți găsi a doua cifră a răspunsului. În exemplul nostru, al doilea grup de trei cifre (000) trebuie adăugat la primul rest (2) pentru a obține numărul 2000.
   • În stânga liniei verticale, scrieți trei numere, a căror sumă este egală cu un prim factor. Lăsați spații goale pentru aceste numere și puneți semnele plus între ele.
5. 5 Găsiți primul termen (din trei). În primul spațiu gol, scrieți rezultatul înmulțirii 300 cu pătratul primei cifre a răspunsului (este scris deasupra semnului rădăcină). În exemplul nostru, prima cifră a răspunsului este 2, deci 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. Scrieți 1200 în primul spațiu gol. Primul termen este 1200 (plus încă două numere de găsit).
6. 6 Găsiți a doua cifră a răspunsului. Aflați ce număr trebuie să înmulțiți 1200 astfel încât rezultatul să fie aproape, dar să nu depășească 2000. Acest număr poate fi doar 1, deoarece 2 * 1200 = 2400, care este mai mare de 2000. Scrieți 1 (a doua cifră a răspuns) după 2 și virgulă zecimală deasupra semnului rădăcină.
7. 7 Găsiți al doilea și al treilea termen (din trei). Factorul constă din trei numere (termeni), primul dintre care l-ați găsit deja (1200). Acum trebuie să găsim cei doi termeni rămași.
   • Înmulțiți 3 cu 10 și cu fiecare cifră a răspunsului (sunt scrise deasupra semnului rădăcină). În exemplul nostru: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. Adăugați acest rezultat la 1200 și obțineți 1260.
   • În cele din urmă, pătrateți ultima cifră a răspunsului dvs. În exemplul nostru, ultima cifră a răspunsului este 1, deci 1 ^ 2 = 1. Deci primul factor este suma următoarelor numere: 1200 + 60 + 1 = 1261. Scrieți acest număr în stânga barei verticale .
8. 8 Înmulțiți și scădeți. Înmulțiți ultima cifră a răspunsului (în exemplul nostru este 1) cu factorul găsit (1261): 1 * 1261 = 1261. Scrieți acest număr sub 2000 și scădeți-l din 2000. Veți obține 739 (acesta este al doilea rest).
9. 9 Luați în considerare dacă răspunsul pe care l-ați primit este suficient de corect. Faceți acest lucru de fiecare dată când finalizați următoarea scădere. După prima scădere, răspunsul a fost 2, ceea ce nu este un rezultat exact. După a doua scădere, răspunsul este 2.1.
   • Pentru a verifica acuratețea răspunsului, adăugați-l: 2.1 * 2.1 * 2.1 = 9.261.
   • Dacă credeți că răspunsul este suficient de corect, nu trebuie să continuați calculele; în caz contrar, faceți o altă scădere.
10. 10 Găsiți al doilea factor. Pentru a vă practica calculele și a obține un rezultat mai precis, repetați pașii de mai sus.
    • Adăugați al treilea grup de trei cifre (000) la cel de-al doilea rest (739). Veți obține numărul 739000.
    • Înmulțiți 300 cu pătratul numărului scris deasupra semnului rădăcină (21): ${ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}$ = 132300.
    • Găsiți a treia cifră a răspunsului. Aflați ce număr trebuie să înmulțiți 132300 astfel încât rezultatul să fie aproape, dar să nu depășească 739000. Acest număr este 5: 5 * 132200 = 661500. Scrieți 5 (a treia cifră a răspunsului) după 1 deasupra semnului rădăcină.
    • Înmulțiți 3 cu 10 cu 21 și cu ultima cifră a răspunsului (sunt scrise deasupra semnului rădăcină). În exemplul nostru: ${ displaystyle 3 * 21 * 5 * 10 = 3150}$.
    • În cele din urmă, pătrateți ultima cifră a răspunsului dvs. În exemplul nostru, ultima cifră a răspunsului este 5, deci ${ displaystyle 5 ^ {2} = 25.}$
    • Astfel, al doilea factor este: 132300 + 3150 + 25 = 135.475.
11. 11 Înmulțiți ultima cifră a răspunsului dvs. cu al doilea factor. După ce ați găsit al doilea factor și a treia cifră a răspunsului, procedați după cum urmează:
    • Înmulțiți ultima cifră a răspunsului cu factorul găsit: 135475 * 5 = 677375.
    • Scădeți: 739000 - 677375 = 61625.
    • Luați în considerare dacă răspunsul pe care l-ați primit este suficient de corect. Pentru a face acest lucru, cubulează-l: ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$.
12. 12 Notează-ți răspunsul. Rezultatul scris deasupra semnului rădăcină este răspunsul cu două zecimale. În exemplul nostru, rădăcina cubică a lui 10 este 2,15. Verificați răspunsul cubulându-l: 2.15 ^ 3 = 9.94, care este aproximativ 10. Dacă aveți nevoie de mai multă precizie, continuați calculul (așa cum este descris mai sus).

Partea 2 din 3: Estimarea rădăcinii cubului

1. 1 Utilizați cuburi de numere pentru a determina limitele superioare și inferioare. Dacă trebuie să extrageți rădăcina cubului a aproape orice număr, găsiți cuburi (unele numere) care sunt aproape de numărul dat.
   • De exemplu, trebuie să extrageți rădăcina cubică a lui 600. Din moment ce ${ displaystyle 8 ^ {3} = 512}$ și ${ displaystyle 9 ^ {3} = 729}$, atunci rădăcina cubului 600 este între 8 și 9. Prin urmare, utilizați 512 și 729 ca limite superioare și inferioare ale răspunsului dvs.
2. 2 Estimează al doilea număr. Ai găsit primul număr datorită cunoștințelor tale despre cuburile de numere întregi. Acum convertiți un număr întreg într-o fracție zecimală atribuindu-i (după punctul zecimal) o cifră de la 0 la 9. Trebuie să găsiți o fracție zecimală, al cărei cub va fi aproape, dar mai mic decât numărul inițial.
   • În exemplul nostru, numărul 600 este între 512 și 729. De exemplu, la primul număr găsit (8), adăugați numărul 5. Obțineți numărul 8.5.
3. 3 Estimați numărul rezultat construindu-l într-un cub. Faceți acest lucru pentru a verifica dacă cubul este aproape, dar nu mai mare decât numărul original.
   • În exemplul nostru: ${ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}$
4. 4 Dacă este necesar, evaluați un număr diferit. Comparați cubul numărului rezultat cu numărul original. Dacă cubul numărului rezultat este mai mare decât numărul inițial, încercați să evaluați un număr mai mic. Dacă cubul numărului rezultat este mult mai mic decât numărul original, evaluați numerele mari până când cubul unuia dintre ele depășește numărul original.
   • În exemplul nostru: ${ displaystyle 8.5 ^ {3}}$ > 600. Astfel, estimați numărul mai mic 8.4. Cubează acest număr și compară-l cu numărul original: ${ displaystyle 8.4 * 8.4 * 8.4 = 592.7}$... Acest rezultat este mai mic decât numărul inițial. Astfel, rădăcina cubică de 600 este între 8,4 și 8,5.
5. 5 Evaluează numărul următor pentru a îmbunătăți acuratețea răspunsului tău. Pentru fiecare număr pe care l-ați evaluat ultima dată, adăugați un număr de la 0 la 9 până când veți obține răspunsul exact. În fiecare rundă de evaluare, trebuie să găsiți limitele superioare și inferioare între care se află numărul original.
   • În exemplul nostru: ${ displaystyle 8.4 ^ {3} = 592.7}$ și ${ displaystyle 8.5 ^ {3} = 614.1}$... Numărul original 600 este mai aproape de 592 decât de 614. Prin urmare, la ultimul număr pe care l-ați estimat, adăugați o cifră care este mai aproape de 0 decât de 9. De exemplu, acest număr este 4. Prin urmare, reduceți numărul 8.44.
6. 6 Dacă este necesar, evaluați un număr diferit. Comparați cubul numărului rezultat cu numărul original. Dacă cubul numărului rezultat este mai mare decât numărul inițial, încercați să evaluați un număr mai mic. Pe scurt, trebuie să găsiți două numere ale căror cuburi sunt puțin mai mari și puțin mai mici decât numărul inițial.
   • În exemplul nostru ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$... Acesta este puțin mai mare decât numărul inițial, deci evaluați un alt număr (mai mic), de exemplu 8.43: ${ displaystyle 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599.07}$... Astfel, rădăcina cubică de 600 este între 8,43 și 8,44.
7. 7 Urmați acest proces până când veți obține un răspuns care vă este satisfăcător. Evaluați numărul următor, comparați-l cu originalul, apoi evaluați un alt număr, dacă este necesar, și așa mai departe. Rețineți că fiecare cifră suplimentară după punctul zecimal crește precizia răspunsului dvs.
   • În exemplul nostru, cubul numărului 8.43 este mai mic decât numărul inițial cu mai puțin de 1. Dacă aveți nevoie de mai multă precizie, cubificați numărul 8.434 și obțineți acel ${ displaystyle 8,434 ^ {3} = 599,93}$, adică rezultatul este mai mic cu 0,1 mai mic decât numărul inițial.

Partea 3 din 3: Explicarea procesului de calcul descris

1. 1 Amintiți-vă seria binomială. O serie binomială este rezultatul ridicării unui binom (binom) la o anumită putere, în acest caz la un cub. Pentru a înțelege algoritmul de extracție a rădăcinii cubului descris aici, amintiți-vă mai întâi cum un binom este cub. Șansele sunt că ați învățat acest lucru la școală (și probabil că ați uitat, la fel ca majoritatea oamenilor). Variabile ${ displaystyle A}$ și ${ displaystyle B}$ marcați câteva cifre. Apoi, numărul din două cifre poate fi scris ca un binom ${ displaystyle (10A + B)}$.
   • Aici membru ${ displaystyle 10A}$ reprezintă locul zecilor, adică dacă ${ displaystyle A}$ Este orice număr dintr-o singură cifră, atunci ${ displaystyle 10A}$ - acesta este deja numărul corespunzător din două cifre. De exemplu, dacă ${ displaystyle A}$ = 2, și ${ displaystyle B}$ = 6, atunci ${ displaystyle (10A + B)}$ = 26, adică ai un număr de două cifre 26.
2. 2 Cubează binomul. Faceți acest lucru pentru a înțelege procesul de extracție a rădăcinii cubului descris în prima secțiune. calculati ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ = ${ displaystyle (10A + B) * (10A + B) * (10A + B)}$ = ${ displaystyle 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}}$ (aici am omis mai multe etape ale construcției cubului, pentru a nu aglomera articolul cu calcule).
   • O explicație detaliată poate fi găsită aici.
3. 3 Înțelegeți algoritmul de divizare lungă. Rețineți că metoda rădăcinii cubului descrisă aici este foarte asemănătoare cu diviziunea lungă. Când împărțiți într-o coloană, trebuie să găsiți numărul (coeficientul), atunci când este înmulțit cu divizorul, obțineți dividendul. În metoda descrisă, rezultatul extragerii rădăcinii cubului (este scris deasupra semnului rădăcină) este folosit ca coeficient. Adică, rezultatul extragerii rădăcinii cubului poate fi reprezentat ca un binom (10A + B). Valorile exacte ale lui A și B nu sunt importante în acest stadiu: amintiți-vă că rezultatul poate fi scris ca un binom.
4. 4 Uită-te la gama binomială. Este suma a patru monomii, datorită cărora puteți înțelege principiul funcționării algoritmului de extracție a rădăcinii cubului. Vă rugăm să rețineți că multiplicatorul pentru fiecare etapă de extragere a rădăcinii este egal cu suma celor patru termeni care trebuie calculați și adăugați.
   • Factorul pentru primul termen este 1000. Pentru a calcula prima cifră a răspunsului, găsiți mai întâi cubul unui întreg care este cel mai apropiat, dar mai mic decât un anumit număr (și anume primul grup de trei cifre). Aceasta definește membrul 1000A ^ 3 al seriei binomiale.
   • Multiplicatorul celui de-al doilea termen al seriei binomiale este numărul 300 (${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ = 300). Amintiți-vă că, în fiecare etapă de extracție a rădăcinii cubului, cifrele corespunzătoare ale răspunsului au fost înmulțite cu 300.
   • Al doilea termen în fiecare etapă a extracției rădăcinii este determinat de al treilea termen al seriei binomiale, care este egal cu 30AB ^ 2.
   • Al treilea termen în fiecare etapă a extracției rădăcinii este determinat de al patrulea termen al seriei binomiale, care este egal cu B ^ 3.
5. 5 Rețineți creșterea preciziei răspunsului. Cu cât parcurgeți mai multe etape de extracție a rădăcinilor, cu atât răspunsul va fi mai precis. De exemplu, în acest articol, trebuia să extrageți rădăcina cubică a 10. În prima etapă, răspunsul este 2, deoarece ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8, care este aproape, dar mai puțin de 10. În cea de-a doua etapă, răspunsul este 2.1, deoarece ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9.261}$, care este mult mai aproape de 10. În a treia etapă, răspunsul este 2,15, deoarece ${ displaystyle 2.15 ^ {3} = 9.94}$... Puteți continua calculul folosind grupuri de trei cifre pentru a îmbunătăți acuratețea răspunsului.

sfaturi

• Practică pentru a stăpâni metodele descrise. Cu cât exersezi mai mult, cu atât vei calcula mai repede.

Avertizări

• Este destul de ușor să greșești în procesul de calcul. Deci, asigurați-vă că verificați răspunsul.

De ce ai nevoie

• Pix sau creion
• Hârtie
• Rigla
• Radieră