Conţinut

• A calca
• Partea 1 din 4: Întocmirea matricei
• Partea 2 din 4: Învățarea operațiunilor pentru rezolvarea unui sistem cu o matrice
• Partea 3 din 4: Combinați pașii pentru a rezolva galaxia
• Partea 4 din 4: Verificarea soluției dvs.
• sfaturi

O matrice este un mod foarte util de reprezentare a numerelor într-un format de bloc, pe care îl puteți utiliza apoi pentru a rezolva un sistem de ecuații liniare. Dacă aveți doar două variabile, probabil că veți utiliza o metodă diferită. Citiți despre acest lucru în Rezolvarea unui sistem de ecuații pentru exemple ale acestor alte metode. Dar dacă aveți trei sau mai multe variabile, o matrice este ideală. Folosind combinații repetate de înmulțire și adunare, puteți ajunge sistematic la o soluție.

A calca

Partea 1 din 4: Întocmirea matricei

1. Verificați dacă aveți suficiente date. Pentru a obține o soluție unică pentru fiecare variabilă dintr-un sistem liniar care utilizează o matrice, trebuie să aveți la fel de multe ecuații ca numărul de variabile pe care încercați să le rezolvați. De exemplu: cu variabilele x, y și z aveți nevoie de trei ecuații. Dacă aveți patru variabile, aveți nevoie de patru ecuații.
   • Dacă aveți mai puține ecuații decât numărul de variabile, veți afla unele limite ale variabilelor (cum ar fi x = 3y și y = 2z), dar nu puteți obține o soluție precisă. Pentru acest articol vom lucra doar la o soluție unică.
2. Scrieți ecuațiile în formularul standard. Înainte de a putea pune date din ecuații într-o formă matricială, mai întâi scrieți fiecare ecuație în formă standard. Forma standard pentru o ecuație liniară este Ax + By + Cz = D, unde literele majuscule sunt coeficienții (cifrele), iar ultimul număr (D în acest exemplu) este în dreapta semnului egal.
   • Dacă aveți mai multe variabile, continuați linia atât timp cât aveți nevoie. De exemplu, dacă ați încerca să rezolvați un sistem cu șase variabile, forma implicită ar arăta ca Au + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = G. În acest articol ne vom concentra asupra sistemelor cu doar trei variabile. Rezolvarea unei galaxii mai mari este exact aceeași, dar durează mai mult timp și mai mulți pași.
   • Rețineți că, într-o formă standard, operațiunile dintre termeni sunt întotdeauna un adaos. Dacă există o scădere în ecuația dvs., în loc de o adunare, va trebui să lucrați cu aceasta mai târziu, făcând coeficientul dvs. negativ. Pentru a face acest lucru mai ușor de reținut, puteți rescrie ecuația și adăuga operația și face coeficientul negativ. De exemplu, puteți rescrie ecuația 3x-2y + 4z = 1 ca 3x + (- 2y) + 4z = 1.
3. Plasați numerele din sistemul de ecuații într-o matrice. O matrice este un grup de numere, dispuse într-un fel de tabel, cu care vom lucra pentru a rezolva sistemul. Practic conține aceleași date ca și ecuațiile în sine, dar într-un format mai simplu. Pentru a face matricea ecuațiilor dvs. într-o formă standard, trebuie doar să copiați coeficienții și rezultatul fiecărei ecuații într-un singur rând și să stivați aceste rânduri una peste alta.
   • Să presupunem că aveți un sistem format din cele trei ecuații 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 și x + y + z = 7. Rândul superior al matricei dvs. va conține numerele 3, 1, -1, 9, deoarece aceștia sunt coeficienții și soluția primei ecuații. Rețineți că orice variabilă care nu are un coeficient se presupune că are un coeficient de 1. Al doilea rând al matricei devine 2, -2, 1, -3, iar al treilea rând devine 1, 1, 1, 7.
   • Asigurați-vă că aliniați coeficienții x în prima coloană, coeficienții y în a doua, coeficienții z în a treia și termenii soluției în a patra. Când ați terminat de lucrat cu matricea, aceste coloane vor fi importante atunci când scrieți soluția.
4. Desenați o paranteză pătrată mare în jurul întregii matrice. Prin convenție, o matrice este indicată printr-o pereche de paranteze pătrate, [], în jurul întregului bloc de numere. Parantezele nu afectează soluția în niciun fel, dar indică faptul că lucrați cu matrice. O matrice poate consta din orice număr de rânduri și coloane. În acest articol, vom folosi paranteze în jurul termenilor la rând pentru a indica faptul că aparțin împreună.
5. Utilizarea simbolismului comun. Când lucrați cu matrice, este obișnuit să faceți referire la rândurile cu abrevierea R și coloanele cu abrevierea C. Puteți utiliza numerele împreună cu aceste litere pentru a indica un anumit rând sau coloană. De exemplu, pentru a indica rândul 1 al unei matrice, puteți scrie R1. Rândul 2 devine apoi R2.
   • Puteți indica orice poziție specifică dintr-o matrice folosind o combinație de R și C. De exemplu, pentru a indica un termen din al doilea rând, a treia coloană, l-ați putea numi R2C3.

Partea 2 din 4: Învățarea operațiunilor pentru rezolvarea unui sistem cu o matrice

1. Înțelegeți forma matricei soluției. Înainte de a începe să vă rezolvați sistemul de ecuații, trebuie să înțelegeți ce veți face cu matricea. În acest moment aveți o matrice care arată astfel:
   • 3 1 -1 9
   • 2 -2 1 -3
   • 1 1 1 7
   • Lucrați cu o serie de operațiuni de bază pentru a crea „matricea soluției”. Matricea soluției va arăta astfel:
   • 1 0 0 x
   • 0 1 0 y
   • 0 0 1 z
   • Rețineți că matricea constă din 1 într-o linie diagonală cu 0 în toate celelalte spații, cu excepția celei de-a patra coloane. Numerele din coloana a patra sunt soluția pentru variabilele x, y și z.
2. Folosiți multiplicarea scalară. Primul instrument pe care îl aveți la dispoziție pentru a rezolva un sistem folosind o matrice este multiplicarea scalară. Acesta este pur și simplu un termen care înseamnă că înmulțiți elementele dintr-un rând al matricei cu un număr constant (nu o variabilă). Când utilizați multiplicarea scalară, rețineți că trebuie să multiplicați fiecare termen al întregului rând cu orice număr selectați. Dacă uitați primul termen și vă înmulțiți, veți obține soluția greșită. Cu toate acestea, nu trebuie să multiplicați întreaga matrice în același timp. În multiplicarea scalară, lucrați doar pe un rând pe rând.
   • Este obișnuit să folosiți fracții în multiplicarea scalară, deoarece de multe ori doriți să obțineți un rând diagonal de 1. Obișnuiește-te să lucrezi cu fracțiuni. De asemenea, va fi mai ușor (pentru majoritatea pașilor în rezolvarea matricei) să puteți scrie fracțiile într-o formă necorespunzătoare, apoi să le convertiți înapoi în numere mixte pentru soluția finală. Prin urmare, numărul 1 2/3 este mai ușor de utilizat dacă îl scrieți ca 5/3.
   • De exemplu, primul rând (R1) al problemei noastre de exemplu începe cu termenii [3,1, -1,9]. Matricea soluției trebuie să conțină un 1 în prima poziție a primului rând. Pentru a „schimba” 3 la 1, putem înmulți întregul rând cu 1/3. Aceasta creează noul R1 de [1,1 / 3, -1 / 3,3].
   • Asigurați-vă că lăsați orice semne negative acolo unde le aparține.
3. Utilizați adăugarea rândului sau scăderea rândului. Al doilea instrument pe care îl puteți utiliza este să adăugați sau să scăpați două rânduri din matrice. Pentru a crea termenii 0 în matricea soluției, trebuie să adăugați sau să scădeți numere pentru a ajunge la 0. De exemplu, dacă R1 are o matrice [1,4,3,2] și R2 este [1,3,5,8], atunci puteți scădea primul rând din al doilea rând și puteți crea un nou rând [0, -1, 2.6], deoarece 1-1 = 0 (prima coloană), 3-4 = -1 (a doua coloană), 5-3 = 2 (a treia coloană) și 8-2 = 6 (a patra coloană). Când efectuați o adăugare de rând sau o scădere de rând, rescrieți noul rezultat în locul rândului cu care ați început. În acest caz, am extrage rândul 2 și am introduce noul rând [0, -1,2,6].
   • Puteți utiliza o notație pe scurt și puteți declara această acțiune ca R2-R1 = [0, -1,2,6].
   • Amintiți-vă că adunarea și scăderea sunt forme opuse ale aceleiași operații. Gândiți-vă la asta ca la adăugarea a două numere sau scăderea opusului. De exemplu, dacă începeți cu ecuația simplă 3-3 = 0, vă puteți gândi la aceasta ca la o problemă de adunare de 3 + (- 3) = 0. Rezultatul este același. Acest lucru pare simplu, dar uneori este mai ușor să luați în considerare o problemă într-o formă sau alta. Doar fii cu ochii pe semnele tale negative.
4. Combinați adunarea rândurilor și multiplicarea scalară într-un singur pas. Nu vă puteți aștepta ca termenii să se potrivească întotdeauna, deci puteți utiliza o simplă adunare sau scădere pentru a crea 0 în matricea dvs. Mai des va trebui să adăugați (sau să scăpați) un multiplu dintr-un alt rând. Pentru a face acest lucru, faceți mai întâi multiplicarea scalară, apoi adăugați acel rezultat la rândul țintă pe care încercați să îl modificați.
   • Presupune; că există un rând 1 din [1,1,2,6] și un rând 2 din [2,3,1,1]. Doriți un termen 0 în prima coloană a lui R2. Adică vrei să schimbi 2 la 0. Pentru a face acest lucru, trebuie să scazi un 2. Puteți obține un 2 înmulțind primul rând 1 cu înmulțirea scalară 2 și apoi scăzând primul rând din al doilea rând. Pe scurt, acest lucru poate fi notat ca R2-2 * R1. În primul rând, înmulțiți R1 cu 2 pentru a obține [2,2,4,12]. Apoi scade acest lucru din R2 pentru a obține [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)]. Simplificați acest lucru și noul dvs. R2 va fi [0,1, -3, -11].
5. Copiați rândurile care rămân neschimbate pe măsură ce lucrați. Pe măsură ce lucrați la matrice, veți schimba un singur rând odată, fie prin multiplicare scalară, adunare de rânduri sau scădere de rânduri, fie o combinație de pași. Când schimbați un rând, asigurați-vă că copiați celelalte rânduri ale matricei în forma lor originală.
   • O eroare comună apare atunci când se efectuează o etapă de multiplicare și adunare combinată într-o singură mișcare. De exemplu, să presupunem că trebuie să scădem R1 din R2 de două ori. Când înmulțiți R1 cu 2 pentru a face acest pas, amintiți-vă că R1 nu se schimbă în matrice. Înmulțiți doar pentru a schimba R2. Mai întâi copiați R1 în forma sa originală, apoi modificați R2.
6. Prima lucrare de sus în jos. Pentru a rezolva sistemul, lucrați într-un model foarte organizat, în esență „rezolvând” un termen al matricei la un moment dat. Secvența pentru o matrice cu trei variabile va arăta astfel:
   • 1. Faceți un 1 în primul rând, prima coloană (R1C1).
   • 2. Faceți un 0 în al doilea rând, prima coloană (R2C1).
   • 3. Faceți un 1 în al doilea rând, a doua coloană (R2C2).
   • 4. Faceți un 0 în al treilea rând, prima coloană (R3C1).
   • 5. Faceți un 0 în al treilea rând, a doua coloană (R3C2).
   • 6. Faceți un 1 în al treilea rând, a treia coloană (R3C3).
7. Reveniți de jos în sus. În acest moment, dacă ați făcut corect pașii, sunteți la jumătatea soluției. Trebuie să aveți linia diagonală 1, cu 0 sub ea. Numerele din coloana a patra nu contează în acest moment. Acum reveniți în partea de sus, după cum urmează:
   • Creați un 0 în al doilea rând, a treia coloană (R2C3).
   • Creați un 0 în primul rând, a treia coloană (R1C3).
   • Creați un 0 în primul rând, a doua coloană (R1C2).
8. Verificați dacă ați creat matricea soluției. Dacă munca dvs. este corectă, ați creat matricea soluției cu 1 într-o linie diagonală de R1C1, R2C2, R3C3 și 0 în celelalte poziții ale primelor trei coloane. Numerele din coloana a patra sunt soluțiile pentru sistemul dvs. liniar.

Partea 3 din 4: Combinați pașii pentru a rezolva galaxia

1. Începeți cu un exemplu de sistem de ecuații liniare. Pentru a practica acești pași, să începem cu sistemul pe care l-am folosit anterior: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 și x + y + z = 7. Dacă scrieți acest lucru într-o matrice, aveți R1 = [3,1, -1,9], R2 = [2, -2,1, -3] și R3 = [1,1,1,7].
2. Creați un 1 în prima poziție R1C1. Rețineți că R1 începe cu un 3. În acest moment trebuie să îl schimbați la 1. Puteți face acest lucru prin multiplicare scalară, înmulțind toți cei patru termeni ai lui R1 cu 1/3. Pe scurt, puteți scrie ca R1 * 1/3. Acest lucru dă un nou rezultat pentru R1 dacă R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Copiați R2 și R2, neschimbat, când R2 = [2, -2,1, -3] și R3 = [1,1,1,7].
   • Rețineți că înmulțirea și împărțirea sunt doar funcții inverse una de cealaltă. Putem spune că înmulțim cu 1/3 sau împărțim la 3, fără a modifica rezultatul.
3. Creați un 0 în al doilea rând, prima coloană (R2C1). În acest moment, R2 = [2, -2,1, -3]. Pentru a vă apropia de matricea soluției, trebuie să schimbați primul termen de la 2 la 0. Puteți face acest lucru scăzând de două ori valoarea lui R1, deoarece R1 începe cu un 1. Pe scurt, operația R2- 2 * R1. Amintiți-vă, nu schimbați R1, ci doar lucrați cu el. Deci, mai întâi copiați R1 dacă R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Apoi, dacă dublați fiecare termen de R1, obțineți 2 * R1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6]. În cele din urmă, scade acest rezultat din R2 original pentru a obține noul tău R2. Termen de lucru cu termen, această scădere devine (2-2), (-2-2 / 3), (1 - (- 2/3)), (-3-6). Le simplificăm la noul R2 = [0, -8 / 3,5 / 3, -9]. Rețineți că primul termen este 0 (oricare ar fi fost obiectivul dvs.).
   • Scrieți rândul 3 (care nu s-a schimbat) ca R3 = [1,1,1,7].
   • Aveți grijă la scăderea numerelor negative pentru a vă asigura că semnele rămân corecte.
   • Acum, mai întâi să lăsăm fracțiile în forma lor necorespunzătoare. Acest lucru facilitează pașii ulteriori ai soluției. Puteți simplifica fracțiile din ultimul pas al problemei.
4. Creați un 1 în al doilea rând, a doua coloană (R2C2). Pentru a forma în continuare linia diagonală a lui 1, trebuie să convertiți al doilea termen -8/3 în 1. Faceți acest lucru înmulțind întregul rând cu reciprocitatea acelui număr (-3/8). Simbolic, acest pas este R2 * (- 3/8). Al doilea rând rezultat este R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Rețineți că, dacă jumătatea stângă a rândului începe să semene cu soluția cu 0 și 1, jumătatea dreaptă poate începe să arate urât, cu fracțiuni necorespunzătoare. Lasă-i doar pentru ceea ce sunt deocamdată.
   • Nu uitați să continuați să copiați rândurile neatinse, deci R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] și R3 = [1,1,1,7].
5. Creați un 0 în al treilea rând, prima coloană (R3C1). Focalizarea dvs. se mută acum pe al treilea rând, R3 = [1,1,1,7]. Pentru a face un 0 în prima poziție, trebuie să scazi un 1 din 1 în prezent în acea poziție. Dacă vă uitați în sus, există un 1 pe prima poziție a lui R1. Deci, trebuie doar să scădem R1 din R3 pentru a obține rezultatul de care aveți nevoie. Termen de lucru pentru termen, acesta devine (1-1), (1-1 / 3), (1 - (- 1/3)), (7-3). Aceste patru mini-probleme pot fi apoi simplificate la noul R3 = [0,2 / 3,4 / 3,4].
   • Continuați să copiați de-a lungul R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] și R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8]. Amintiți-vă că schimbați doar un rând pe rând.
6. Faceți un 0 în al treilea rând, a doua coloană (R3C2). Această valoare este în prezent 2/3, dar trebuie convertită la 0. La prima vedere, se pare că puteți scădea valorile R1 cu dublu, deoarece coloana corespunzătoare a R1 conține 1/3. Cu toate acestea, dacă dublați și scădeți toate valorile lui R1, se modifică 0 din prima coloană a lui R3, ceea ce nu doriți. Acesta ar fi un pas înapoi în soluția dvs. Deci, trebuie să lucrați cu o combinație de R2. Scăderea 2/3 din R2 creează un 0 în a doua coloană, fără a modifica prima coloană. Pe scurt, acesta este R3-2 / 3 * R2. Termenii individuali devin (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3 - (- 5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3) . Simplificarea dă apoi R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24].
7. Creați un 1 în al treilea rând, a treia coloană (R3C3). Aceasta este o simplă multiplicare prin reciprocitatea numărului pe care îl spune. Valoarea actuală este 42/24, deci puteți înmulți cu 24/42 pentru a obține valoarea dorită 1. Rețineți că primii doi termeni sunt ambii 0, deci orice multiplicare rămâne 0. Noua valoare a lui R3 = [0,0,1,1].
   • Rețineți că fracțiile care păreau destul de complicate în pasul anterior încep deja să se rezolve.
   • Continuați cu R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] și R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8].
   • Rețineți că în acest moment aveți diagonala de 1 pentru matricea soluției. Trebuie doar să convertiți trei elemente ale matricei în 0 pentru a vă găsi soluția.
8. Creați un 0 în al doilea rând, a treia coloană. R2 este în prezent [0,1, -5 / 8,27 / 8], cu o valoare de -5/8 în a treia coloană. Trebuie să-l transformați la 0. Aceasta înseamnă că trebuie să efectuați o operație cu R3 care constă în adăugarea 5/8. Deoarece a treia coloană corespunzătoare a lui R3 este 1, trebuie să înmulțiți toate valorile lui R3 cu 5/8 și să adăugați rezultatul la R2. Pe scurt, acesta este R2 + 5/8 * R3. Termenul pentru termen este R2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5 / 8 + 5/8), (27/8 + 5/8). Acest lucru poate fi simplificat la R2 = [0,1,0,4].
   • Apoi copiați R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] și R3 = [0,0,1,1].
9. Creați un 0 în primul rând, a treia coloană (R1C3). Primul rând este în prezent R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Trebuie să convertiți -1/3 din a treia coloană la 0, folosind o combinație de R3. Nu doriți să utilizați R2, deoarece 1 din a doua coloană a lui R2 ar schimba R1 într-un mod greșit. Deci înmulțiți R3 * 1/3 și adăugați rezultatul la R1. Notarea pentru aceasta este R1 + 1/3 * R3. Termenul pentru elaborarea termenului are ca rezultat R1 = (1 + 0), (1/3 + 0), (-1 / 3 + 1/3), (3 + 1/3). Puteți simplifica acest lucru cu un nou R1 = [1,1 / 3,0,10 / 3].
   • Copiați R2 nemodificat = [0,1,0,4] și R3 = [0,0,1,1].
10. Faceți un 0 în primul rând, a doua coloană (R1C2). Dacă totul este făcut corect, acesta ar trebui să fie ultimul pas. Trebuie să convertiți 1/3 din a doua coloană la 0. Puteți obține acest lucru înmulțind și scăzând R2 * 1/3. Pe scurt, acesta este R1-1 / 3 * R2. Rezultatul este R1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3). Simplificând apoi se obține R1 = [1,0,0,2].
11. Căutați matricea soluției. În acest moment, dacă totul ar merge bine, ați avea cele trei rânduri R1 = [1,0,0,2], R2 = [0,1,0,4] și R3 = [0,0,1,1] trebuie să am. Rețineți că, dacă scrieți acest lucru în forma matricei de blocuri cu rândurile unul deasupra celuilalt, aveți diagonala 1 cu 0 mai departe, iar soluțiile dvs. se află în a patra coloană. Matricea soluției ar trebui să arate astfel:
    • 1 0 0 2
    • 0 1 0 4
    • 0 0 1 1
12. Înțelegerea soluției dvs. După convertirea ecuațiilor liniare într-o matrice, puneți coeficienții x în prima coloană, coeficienții y în a doua coloană, coeficienții z în a treia coloană. Dacă doriți să rescrieți din nou matricea la ecuații, aceste trei linii ale matricei înseamnă de fapt cele trei ecuații 1x + 0y + 0z = 2, 0x + 1y + 0z = 4 și 0x + 0y + 1z = 1. Deoarece putem tăia cei 0 termeni și nu trebuie să scriem 1 coeficienți, aceste trei ecuații se simplifică la soluție, x = 2, y = 4 și z = 1. Aceasta este soluția sistemului dvs. de ecuații liniare.

Partea 4 din 4: Verificarea soluției dvs.

1. Includeți soluțiile în fiecare variabilă din fiecare ecuație. Este întotdeauna o idee bună să verificați dacă soluția dvs. este corectă. Faceți acest lucru testând rezultatele în ecuațiile originale.
   • Ecuațiile inițiale pentru această problemă au fost: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 și x + y + z = 7. Când înlocuiți variabilele cu valorile pe care le-ați găsit, primiți 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3 și 2 + 4 + 1 = 7.
2. Simplificați orice comparație. Efectuați operațiile din fiecare ecuație în conformitate cu regulile de bază ale operațiilor. Prima ecuație simplifică la 6 + 4-1 = 9 sau 9 = 9. A doua ecuație poate fi simplificată la 4-8 + 1 = -3 sau -3 = -3. Ultima ecuație este pur și simplu 7 = 7.
   • Deoarece orice ecuație se simplifică la o afirmație matematică adevărată, soluțiile dvs. sunt corecte. Dacă oricare dintre soluții este incorectă, verificați din nou munca dvs. și căutați eventuale erori. Unele greșeli frecvente apar atunci când scăpați de semnele minus pe parcurs sau confundați multiplicarea și adăugarea fracțiilor.
3. Scrieți soluțiile finale. Pentru această problemă dată, soluția finală este x = 2, y = 4 și z = 1.

sfaturi

• Dacă sistemul dvs. de ecuații este foarte complex, cu multe variabile, este posibil să puteți utiliza un calculator grafic în loc să faceți lucrarea manual. Pentru informații despre acest lucru, puteți consulta și wikiHow.