Ecuații pătratice factoriale

Video: Elemente de Combinatorica (part 1/8): n! (n factorial)

Conţinut

A calca
Inceputul
Metoda 1 din 6: încercare și eroare
Metoda 2 din 6: Descompunere
Metoda 3 din 6: Triple Play
Metoda 4 din 6: Diferența dintre două pătrate
Metoda 5 din 6: Formula ABC
Metoda 6 din 6: Folosirea unui calculator
sfaturi
Avertizări
Necesități

Un polinom conține o variabilă (x) la o anumită putere și mai mulți termeni și / sau constante. Pentru a calcula un polinom, va trebui să împărțiți expresia în expresii mai mici, care sunt multiplicate împreună. Acest lucru necesită un anumit nivel de matematică și, prin urmare, poate fi dificil de înțeles dacă nu sunteți încă atât de departe.

A calca

Inceputul

Ecuația. Formatul standard pentru o ecuație pătratică este:

ax + bx + c = 0
Începeți prin a aranja termenii din ecuația dvs. de la cea mai mare la cea mai mică putere. De exemplu, luați:

6 + 6x + 13x = 0
Vom reordona această expresie, astfel încât să devină mai ușor să lucrăm cu - pur și simplu prin mutarea termenilor:

6x + 13x + 6 = 0
Găsiți factorii folosind una dintre metodele de mai jos. Factorizarea polinomului va duce la două expresii mai mici care pot fi înmulțite împreună pentru a obține polinomul original:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
În acest exemplu, (2x +3) și (3x + 2) sunt factori din expresia originală, 6x + 13x + 6.
Verifică-ți munca! Înmulțiți factorii pe care i-ați găsit. Combinați aceiași termeni și ați terminat. Începe cu:

(2x + 3) (3x + 2)
Să testăm acest lucru, înmulțind termenii folosind EBBL (primul - exterior - interior - ultimul), ceea ce ne oferă:

6x + 4x + 9x + 6
Acum adăugăm 4x și 9x împreună pentru că sunt termeni egali. Știm că factorii sunt corecți, deoarece recuperăm ecuația cu care am început:

6x + 13x + 6

Metoda 1 din 6: încercare și eroare

Dacă aveți un polinom destul de simplu, ați putea vedea care sunt factorii imediat. De exemplu, după unele practici, mulți matematicieni sunt capabili să vadă expresia 4x + 4x + 1 are factorii (2x + 1) și (2x + 1) pur și simplu pentru că au văzut asta de atâtea ori. (Evident, acest lucru nu va fi atât de ușor cu polinoame mai complicate.) Să luăm o expresie mai puțin standard pentru acest exemplu:

3x + 2x - 8

Notați factorii A termenul și c termen. Folosiți formatul ax + bx + c = 0, recunoașteți A și c termeni și notați ce factori există. Pentru 3x + 2x - 8, aceasta înseamnă:

a = 3 și are 1 pereche de factori: 1 * 3
c = -8 și are 4 perechi de factori: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 și -1 * 8.
Notați două perechi de paranteze cu un spațiu gol. Aici introduceți constantele fiecărei expresii:

(x) (x)
Umpleți spațiul dinaintea x-urilor cu un număr de factori posibili ai A valoare. Pentru A termen în exemplul nostru, 3x, există doar 1 posibilitate:

(3x) (1x)
Completați cele 2 spații după x cu câțiva factori pentru constante. Să presupunem că alegem 8 și 1. Introduceți acest lucru:

(3x8)(X1)
Determinați ce semne (plus sau minus) trebuie să fie între variabilele x și cifre. În funcție de caracterele expresiei originale, este posibil să aflăm care ar trebui să fie caracterele constantelor. Să luăm cele două constante ale celor doi factori h și k a menționa:

Dacă ax + bx + c atunci (x + h) (x + k)
Dacă ax - bx - c sau ax + bx - c atunci (x - h) (x + k)
Dacă ax - bx + c atunci (x - h) (x - k)
În exemplul nostru, 3x + 2x - 8, semnul este: (x - h) (x + k), ceea ce ne oferă următorii doi factori:

(3x + 8) și (x - 1)
Testați-vă alegerea cu prima-exterioară-interioară-ultimă multiplicare. Un prim test rapid pentru a vedea dacă termenul mediu este cel puțin valoarea corectă. Dacă nu, atunci probabil că ai greșit c factorii alesi. Să testăm răspunsul:

(3x + 8) (x - 1)
Prin multiplicare obținem:

3x - 3x + 8x - 8
Simplificați această expresie adăugând termenii asemănători (-3x) și (8x) și obținem:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Acum știm că am luat factorii greșiți:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Schimbați alegerile, dacă este necesar. În exemplul nostru, să încercăm 2 și 4, în loc de 1 și 8:

(3x + 2) (x - 4)
Acum c termen egal cu -8, dar produsul exterior / interior al (3x * -4) și (2 * x) este -12x și 2x, ceea ce nu este corect b termen sau + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Inversați comanda dacă este necesar. Să încercăm să rotim 2 și 4:

(3x + 4) (x - 2)
Acum c termen (4 * 2 = 8) și încă în regulă, dar produsele exterioare / interioare sunt -6x și 4x. Când le combinăm, obținem:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Acum ne apropiem destul de mult de 2x unde vrem să fim, dar semnul nu este încă corect.
Verificați de două ori personajele, dacă este necesar. Păstrăm această ordine, dar o schimbăm cu semnul minus:

(3x - 4) (x + 2)
Acum c termenul este încă în regulă, iar produsele exterioare / interioare sunt acum (6x) și (-4x). Pentru că:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Vedem acum 2x pozitiv înapoi de la problema inițială. Aceștia trebuie să fie factorii corecți.

Metoda 2 din 6: Descompunere

Această metodă oferă toți factorii posibili ai acesteia A și c termeni și îi folosește pentru a afla care sunt factorii corecți. Dacă numerele sunt foarte mari sau presupunerile altor metode vor dura prea mult, utilizați acest mod. Un exemplu:

6x + 13x + 6

Înmulțiți A termen cu c termen. În acest exemplu, A este 6 și c este, de asemenea, 6.

6 * 6 = 36
Găsi b termen prin factorizare și testare. Căutăm 2 numere care sunt factori de A * c , și împreună b termen (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Înlocuiți cele două numere pe care le obțineți în ecuația dvs. ca sumă a b termen. Hai k și h pentru a reprezenta cele 2 numere pe care le avem, 4 și 9:

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Factorizați polinomul prin grupare. Organizați ecuația astfel încât să puteți separa cel mai mare divizor comun dintre primii doi termeni și ultimii doi termeni. Ambii factori ar trebui să fie aceiași. Adăugați GGD-urile împreună și plasați-le între paranteze, lângă factori; ca rezultat obțineți cei doi factori:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metoda 3 din 6: Triple Play

Similar cu metoda de descompunere. Metoda „triple play” examinează factorii posibili ai produsului A și c și folosiți-l pentru a afla ce b trebuie sa fie. Luați ecuația ca exemplu:

8x + 10x + 2

Înmulțiți A termen cu c termen. Ca și în cazul metodei de descompunere, folosim aceasta pentru a determina candidații pentru b termen. În acest exemplu: A este 8 și c este 2.

8 * 2 = 16
Găsiți cele 2 numere cu acest număr ca produs și cu o sumă egală cu b termen. Acest pas este același cu metoda de descompunere - testăm candidații pentru constante. Produsul A și c termenii este 16, iar c termenul este 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Luați aceste 2 numere și înlocuiți-le în formula „triple play”. Luați cele 2 numere din pasul anterior - să le luăm h și k numiți-le - și puneți-le în expresia:

((ax + h) (ax + k)) / a

Cu aceasta obținem:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Vedeți care dintre cei doi termeni din numitor poate fi împărțit pe deplin A. În acest exemplu, ne uităm dacă (8x + 8) sau (8x + 2) poate fi împărțit la 8. (8x + 8) este divizibil cu 8, deci împărțim acest termen la A iar pe celălalt îl lăsăm neafectat.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Termenul pe care l-am păstrat aici este cel care rămâne după împărțirea la A termen: (x + 1)
Luați cel mai mare divizor comun (mcd) din unul sau din ambii termeni, dacă este posibil. În acest exemplu vedem că al doilea termen are mcd de 2, deoarece 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combinați acest răspuns cu termenul pe care l-ați descoperit în pasul anterior. Aceștia sunt factorii comparației dvs.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metoda 4 din 6: Diferența dintre două pătrate

Puteți recunoaște unii coeficienți într-un polinom ca „pătrate” sau, de asemenea, ca produs al a 2 numere identice. Aflând care sunt pătratele, este posibil să puteți factoriza polinomii mult mai repede. Luăm ecuația:

27x - 12 = 0

Eliminați MCD din ecuație, dacă este posibil. În acest caz, vedem că 27 și 12 sunt ambele divizibile cu 3, deci le putem plasa separat:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Determinați dacă coeficienții ecuației dvs. sunt pătrate. Pentru a utiliza această metodă este necesar să se determine rădăcina termenilor. (Rețineți că am omis semnele minus - deoarece aceste numere sunt pătrate, ele pot fi produsul a 2 numere negative)

9x = 3x * 3x și 4 = 2 * 2
Folosind rădăcina pătrată pe care ați stabilit-o, puteți scrie acum factorii. Luăm A și c valori de la pasul anterior: A = 9 și c = 4, deci rădăcinile acesteia sunt: - √A = 3 și √c = 2. Aceștia sunt coeficienții expresiilor factorizate:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metoda 5 din 6: Formula ABC

Dacă nimic nu funcționează și nu puteți rezolva ecuația, utilizați formula abc. Luați următorul exemplu:

x + 4x + 1 = 0

Introduceți valorile corespunzătoare în formula abc:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Acum primim expresia:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Rezolvați pentru x. Acum ar trebui să obțineți 2 valori pentru x. Acestea sunt:

x = -2 + √ (3) sau x = -2 - √ (3)
Folosiți valorile lui x pentru a determina factorii. Introduceți valorile x obținute în cele două ecuații ca constante. Aceștia sunt factorii tăi. Dacă îi răspundem pe cei doi h și k notăm cei doi factori după cum urmează:

(x - h) (x - k)
În acest caz, răspunsul final este:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metoda 6 din 6: Folosirea unui calculator

Dacă este permis (sau obligatoriu) să utilizați un calculator grafic, acest lucru facilitează mult factorizarea, în special pentru examene și examene. Următoarele instrucțiuni sunt pentru un calculator grafic TI. Folosim ecuația din exemplul:

y = x - x - 2

Introduceți ecuația în calculatorul dvs. Veți utiliza rezolvatorul de ecuații, cunoscut și sub numele de ecran [Y =].
Graficați ecuația cu calculatorul. Odată ce ați introdus ecuația, apăsați [GRAPH] - ar trebui să vedeți acum o linie curbată, o parabolă ca reprezentare grafică a ecuației dvs. (și este o parabolă pentru că avem de-a face cu un polinom).
Aflați unde parabola se intersectează cu axa x. Deoarece o ecuație pătratică este scrisă în mod tradițional ca ax + bx + c = 0, acestea sunt cele două valori x care fac ecuația egală cu zero:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Dacă nu puteți vedea unde parabola se intersectează cu axa x, apăsați pe [2nd] și apoi pe [TRACE]. Apăsați [2] sau selectați „zero”. Deplasați cursorul la stânga unei intersecții și apăsați [ENTER]. Deplasați cursorul la dreapta unei intersecții și apăsați [ENTER]. Deplasați cursorul cât mai aproape de punctul de intersecție și apăsați [ENTER]. Calculatorul va indica valoarea x. Faceți acest lucru și pentru cealaltă intersecție.
Introduceți valorile x pe care le-ați obținut în cele două expresii factorizate. Dacă luăm cele două valori x h și k ca termen, expresia pe care o folosim arată astfel:

(x - h) (x - k) = 0
Așadar, cei doi factori ai noștri devin:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

sfaturi

Dacă ați luat în calcul polinomul cu formula abc și răspunsul dvs. conține rădăcini, puteți converti valorile x în fracții pentru a le verifica.
Dacă un termen nu are coeficient înaintea acestuia, atunci coeficientul este egal cu 1, de ex. X = 1x.
Dacă aveți un calculator TI-84, există un program numit SOLVER care vă poate rezolva o ecuație pătratică. De asemenea, rezolvă polinoame de grad superior.
După o mulțime de practici, în cele din urmă veți putea rezolva polinomii pe de rost. Dar pentru a fi în siguranță este mai bine să le scrii întotdeauna.
Dacă un termen nu există, coeficientul este zero. Apoi poate fi util să rescrieți ecuația. De exemplu. x + 6 = x + 0x + 6.

Avertizări

Dacă înveți acest concept la ora de matematică, fii atent la ceea ce explică profesorul și nu folosește-ți doar propria metodă preferată. Este posibil să vi se solicite să utilizați o metodă specifică pentru un test sau calculatoarele grafice ar putea să nu fie permise.