Conţinut

• Pași
• Metoda 1 din 4: Monomial la numitor
• Metoda 2 din 4: Binom în numitor
• Metoda 3 din 4: Expresie inversă
• Metoda 4 din 4: Denumitor de rădăcină cubică

În matematică, nu este obișnuit să lăsați o rădăcină sau un număr irațional în numitorul unei fracții. Dacă numitorul este o rădăcină, înmulțiți fracția cu un anumit termen sau expresie pentru a scăpa de rădăcină. Calculatoarele moderne vă permit să lucrați cu rădăcini în numitor, dar programul educațional necesită ca elevii să poată scăpa de iraționalitatea numitorului.

Pași

Metoda 1 din 4: Monomial la numitor

1. 1 Aflați fracția. Fracția este scrisă corect dacă nu există rădăcină în numitor. Dacă numitorul are un pătrat sau orice altă rădăcină, trebuie să multiplicați numărătorul și numitorul cu un monom pentru a scăpa de rădăcină. Vă rugăm să rețineți că numeratorul poate conține o rădăcină - acest lucru este normal.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$
   • Numitorul de aici are o rădăcină ${ displaystyle { sqrt {7}}}$.
2. 2 Înmulțiți numărătorul și numitorul cu rădăcina numitorului. Dacă numitorul conține un monomial, este destul de ușor să raționalizați o astfel de fracțiune. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu același monomial (adică înmulțiți fracția cu 1).
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}$
   • Dacă introduceți o expresie pentru o soluție pe un calculator, asigurați-vă că puneți paranteze în jurul fiecărei părți pentru a le separa.
3. 3 Simplificați fracția (dacă este posibil). În exemplul nostru, poate fi abreviat prin împărțirea numărătorului și numitorului la 7.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = { frac {7 { sqrt {21}}} {14}} = { frac { sqrt {21}} {2}}}$

Metoda 2 din 4: Binom în numitor

1. 1 Aflați fracția. Dacă numitorul său conține suma sau diferența a două monomii, dintre care unul conține o rădăcină, este imposibil să înmulțim fracția cu un astfel de binom pentru a scăpa de iraționalitate.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}$
   • Pentru a înțelege acest lucru, scrieți fracția ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$unde monomiul ${ displaystyle a}$ sau ${ displaystyle b}$ conține rădăcina. În acest caz: ${ displaystyle (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$... Astfel, monomiul ${ displaystyle 2ab}$ va include în continuare rădăcina (dacă ${ displaystyle a}$ sau ${ displaystyle b}$ conține rădăcina).
   • Să aruncăm o privire la exemplul nostru.
     • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 + { sqrt {2}})} {4 + 4 { sqrt {2}} + 2}}}$
   • Vedeți că nu puteți scăpa de monomiul din numitor ${ displaystyle 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 Înmulțiți numărătorul și numitorul cu conjugatul binomial al binomului din numitor. Un binom conjugat este un binom cu același monomiu, dar cu semnul opus între ele. De exemplu, binom ${ displaystyle 2 + { sqrt {2}}}$ conjugat la un binom ${ displaystyle 2 - { sqrt {2}}.}$
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}$
   • Înțelegeți semnificația acestei metode. Luați în considerare fracția din nou ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$... Înmulțiți numărătorul și numitorul cu binomul conjugat cu binomul din numitor: ${ displaystyle (a + b) (a-b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$... Astfel, nu există monomii care să conțină rădăcini. Din moment ce monomiile ${ displaystyle a}$ și ${ displaystyle b}$ sunt pătrate, rădăcinile vor fi eliminate.
3. 3 Simplificați fracția (dacă este posibil). Dacă există un factor comun atât la numărător, cât și la numitor, anulați-l. În cazul nostru, 4 - 2 = 2, care poate fi folosit pentru a reduce fracția.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 - { sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

Metoda 3 din 4: Expresie inversă

1. 1 Examinați problema. Dacă trebuie să găsiți o expresie care este inversa celei date, care conține o rădăcină, va trebui să raționalizați fracția rezultată (și abia apoi să o simplificați). În acest caz, utilizați metoda descrisă în prima sau a doua secțiune (în funcție de sarcină).
   • ${ displaystyle 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 Notați expresia opusă. Pentru a face acest lucru, împarte 1 la expresia dată; dacă i se dă o fracție, schimbați numeratorul și numitorul. Amintiți-vă că orice expresie este o fracție cu 1 în numitor.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}}}$
3. 3 Înmulțiți numărătorul și numitorul cu o expresie pentru a scăpa de rădăcină. Înmulțind numărătorul și numitorul cu aceeași expresie, înmulțiți fracția cu 1, adică valoarea fracției nu se schimbă. În exemplul nostru, ni se dă un binom, deci înmulțiți numărătorul și numitorul cu binomul conjugat.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}$
4. 4 Simplificați fracția (dacă este posibil). În exemplul nostru, 4 - 3 = 1, deci expresia din numitorul fracției poate fi anulată complet.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • Răspunsul este un binom conjugat la acest binom. Este doar o coincidență.

Metoda 4 din 4: Denumitor de rădăcină cubică

1. 1 Aflați fracția. Problema poate conține rădăcini cubice, deși acest lucru este destul de rar. Metoda descrisă se aplică rădăcinilor de orice grad.
   • ${ displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 Rescrieți rădăcina ca putere. Aici nu puteți înmulți numeratorul și numitorul cu un anumit monomiu sau expresie, deoarece raționalizarea se efectuează într-un mod ușor diferit.
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}$
3. 3 Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu o anumită putere, astfel încât exponentul din numitor să devină 1. În exemplul nostru, înmulțiți fracția cu ${ displaystyle { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$... Amintiți-vă că, atunci când gradele sunt multiplicate, indicatorii lor se adună: ${ displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$
   • Această metodă este aplicabilă oricărei rădăcini de gradul n. Dacă se dă o fracție ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {1 / n}}}}$, înmulțiți numărătorul și numitorul cu ${ displaystyle a ^ {1 - { frac {1} {n}}}}$... Astfel, exponentul din numitor devine 1.
4. 4 Simplificați fracția (dacă este posibil).
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • Dacă este necesar, scrieți rădăcina în răspuns. În exemplul nostru, calculați exponentul în doi factori: ${ displaystyle 1/3}$ și ${ displaystyle 2}$.
     • ${ displaystyle 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$